北师大版初中数学八年级下册课程课件 第1章 三角形的证明.ppt

5.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是 . A B D E C 18厘米 常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的”三线合一”结合起来考查. 方法总结 针对训练 6.下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 （填序号）. ① ② ③ 例1 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. A B C P N M 典例精析 D E F A B C P N M 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上. 这说明三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 总结归纳 例2.如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,AC的长; E D A B C （1）解：∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E， ∴DE=CD=4cm. ∵AC=BC,∴∠B=∠BAC. ∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE. 在等腰直角三角形BDE中， (2)求证:AB=AC+CD. E D A B C （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL). ∴AC=AE. ∵BE=DE=CD, ∴AB=AE+BE=AC+CD. 当堂练习 1.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（ ） A.P为∠A，∠B两角平分线的交点 B.P为∠A的平分线与AB的垂直平分线 的交点 C.P为AC，AB两边上的高的交点 D.P为AC，AB两边的垂直平分线的交点 A 【解析】∵点P到∠A的两边的距离相等， ∴P在∠A的角平分线上， ∵PA＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上. ∴P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点. 2.如图, △ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, ∠CBE= ∠ABE, 且AC=6cm, 那么线段BE是∠ABC的　 ，AE+DE= . C A B E D 角平分线 6cm 3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A.△ABC 的三条中线的交点 B.△ABC 三边的中垂线的交点 C.△ABC 三条角平分线的交点 D.△ABC 三条高所在直线的交点 C 　4.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF. 　求证：CF=EB. 证明：∵AD平分∠CAB, 　　DE⊥AB，∠C＝90°（已知）, ∴　CD＝DE (角平分线的性质). 在Rt△CDF和Rt△EDB中, 　　 CD=ED（已证）, DF=DB （已知）, ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (H.L.). ∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）. C F A E D B 三角形内角平分线的性质 性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 课堂小结 应用：位置的选择问题. 小结与复习 第一章 三角形的证明 1.性质①： 等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角） 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°. 2.性质②： 等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边. （三线合一）. 推论： 一、等腰（边）三角形 要点梳理 3.等腰（边）三角形的判定及含30°角的直角