第十六章-贝塞尔函数.ppt

第十六章贝塞尔函数(BesselFunction)柱函数(CylinderFunction)一、Bessel微分方程的导出考虑固定边界的圆膜振动，可以归结为下述定解问题对泛定方程用分离变量法，把对（x，y，t）的偏微分方程分解为关于t的常微分方程和关于（x，y）的偏微分方程。令：得：式（16.6）和（16.7）这个定解问题宜于使用柱坐标，从而构成柱面问题．（由于是二维问题，即退化为极坐标）常数时解有意义，所以令在极坐标系下，式（16.6）、（16.7）的形式为U:柱函数在柱坐标系下，对拉普拉斯（Laplace）方程（16.8）进行分离变量，将导出n阶Bessel方程。柱坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程问题时,以代入Lplace方程(16.8)得式（16.13）称为v阶Bessel微分方程一般情况下，Bessel方程的解不能用初等函数表示，从而就导入了一类特殊函数——Bessel函数。用级数法去解Bessel方程。二、Bessel方程的解-Bessel函数设上述贝塞尔方程有一个级数解，由于x=0是y的一个奇点，因此设级数形式为其中,常数和可以通过把和它的导数、代入上式来确定。（1）首先确定出（2），得到一个特解为称之为n阶第一类贝塞尔函数，记作（3）当v=正整数n或零时，有以上解称为v阶贝塞尔函数，也称为第一类Bessel函数（4）当v=负整数-n时上述Bessel函数是式（16.13）的两个特解，在v不是整数时，两个特解线性无关，因此v不是整数时，Bessel方程（16.13）的通解为在v=整数时，两个特解线性相关，因此必须找一个与第一类Bessel函数线性无关的特解。——v阶诺依曼函数(第二类贝塞尔函数)(v≠整数时，引入)——n阶汉克尔函数(第三类贝塞尔函数)在v=整数n时，用极限法则得到Bessel方程（16.13）的解为：第一类、第二类Bessel函数线性无关，则他们的线性组合也是Bessel方程（16.13）的通解，即贝塞尔函数的图象诺伊曼函数的图象三、当n为整数时贝塞尔方程的通解取哪一个特解?一般情况下认为选取第二类贝塞尔函数比较方便.不过,当n为整数时上式右端无意义!为此,要想写出整数阶贝塞尔方程的通解必须要修改第二类贝塞尔函数的定义.在n为整数的情况下,我们定义第二类贝塞尔函数为由于当n为整数时,,所以上式右端的极限是形式的不定型的极限,依据洛必达法则并经过冗长的推导,最后得到其中,称为欧拉常数.依据重新定义的函数,它的确是贝塞尔方程的解,而且与是线性无关的(因为当时,为有限值,而为无穷大.综上所述,贝塞尔方程的通解为其中A,B为任意常数,n为任意实数.四、贝塞尔函数的生成函数函数称为整数阶第一类贝塞尔函数的生成函数.它对于得到n取整数值的第一类贝塞尔函数的诸多性质是非常有用的,然后常可证明这些性质对所有的n也成立.五、贝塞尔函数的递推公式不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此孤立的,而是有一定的联系,这种联系建立在递推公式上.首先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系.在下式中,令n=0及n=1n=0；m=0→∞：n=1；m=0→∞：取出第一个级数的第k+1项求导数,得n=1；m=0→∞：得到关系将乘以并求导数,又得到即以上结果,可以推广.下列结论对所有的n都是成立的:六、可变换成贝塞尔方程的方程