2024年数学一轮-重难点突破09 一类与斜率和、差、商、积问题的探究（四大题型）（原卷版）.docx

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重难点突破09一类与斜率和、差、商、积问题的探究

目录

1、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值．

2、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值．

3、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值．

4、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点．

（1）若，则直线过定点；

（2）若，则直线过定点．

5、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，．

（1）若，则直线过定点；

（2）若，则直线过定点．

6、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点．

题型一：斜率和问题

例1．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点，，是异于A，的动点，，分别是直线，的斜率，且满足.

(1)求动点的轨迹方程；

(2)在线段上是否存在定点，使得过点的直线交的轨迹于，两点，且对直线上任意一点，都有直线，，的斜率成等差数列.若存在，求出定点，若不存在，请说明理由.

例2．（2023·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知抛物线与抛物线在第一象限交于点.

(1)已知为抛物线的焦点，若的中点坐标为，求；

(2)设为坐标原点，直线的斜率为.若斜率为的直线与抛物线和均相切，证明为定值，并求出该定值.

例3．（2023·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知双曲线，渐近线方程为，点在上；

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(1)求双曲线的方程；

(2)过点的两条直线，分别与双曲线交于，两点（不与点重合），且两条直线的斜率，满足，直线与直线，轴分别交于，两点，求证：的面积为定值.

变式1．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知两定点，，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且．

(1)求动点M的轨迹；

(2)设过的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为，，，且满足．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．

变式2．（2023·全国·高三专题练习）设是抛物线上一点，不过点A的直线l交E于M，N两点，F为E的焦点．

(1)若直线l过F，求的值；

(2)设直线AM，AN和直线l的斜率分别为，和k，若，求k的值．

变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，离心率为．过点的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和，求的值．

变式4．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.

变式5．（2023·重庆巴南·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接.若直线的斜率与直线的斜率之和为0，试比较与的大小.

变式6．（2023·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左右顶点，分别为椭圆的左右焦点，是椭圆的上顶点，且的外接圆半径为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线的斜率分别为．

（i）求的值；

（ii）若，则求的面积的取值范围．

变式7．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且．

(1)求抛物线E的方程；

(2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和．求证：为定值．

变式8．（2023·四川巴中·高三统考开学考试）已知椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，且．

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线与直线的斜率分别为，当时，求：

①直线的方程；

②的面积．

变式9．（2023·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．

(1)求E的方程；

(2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，，且，求证：直线BD经过定点．

变式10．（2023·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知椭圆C：过点，且C的右焦点为．

(1)求C的离心率；

(2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N