2024年中考数学复习（全国版）第3讲 正比例函数与一次函数（考点精析+真题精讲）（原卷版）.docxVIP

备战2024中考数学一轮复习

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第3讲正比例函数与一次函数第三章函数第3讲正比例函数与一次函数

第3讲正比例函数与一次函数

第三章函数

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考向一一次函数和正比例函数的定义

考向二一次函数的图象及性质

考向三用待定系数法确定一次函数的解析式

第3讲正比例函数与一次函数

一次函数是中考非常重要的函数,年年考查,总分值为5-10分左右，预计2024年各地中考一定还会考,一般小题的形式考察一次函数的图象及性质，大题主要以应用题或一次函数与几何图形综合为主。

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一、正比例函数的概念

一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．

二、一次函数

1.一次函数的定义

一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.

特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．

2.一次函数的一般形式

一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．

一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.

3.注意

（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.

（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.

（3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.

三、一次函数的图象及性质

1．正比例函数的图象特征与性质

正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．

k的符号

函数图象

图象的位置

性质

k0

图象经过第一、三象限

y随x的增大而增大

k0

图象经过第二、四象限

y随x的增大而减小

2.一次函数的图象特征与性质

（1）一次函数的图象

一次函数的图象

一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线

图象关系

一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b0，向上平移b个单位长度；b0，向下平移|b|个单位长度

图象确定

因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可

（2）一次函数的性质

函数

字母取值

图象

经过的象限

函数性质

y=kx+b

(k≠0)

k0，b0

一、二、三

y随x的增大而增大

k0，b0

一、三、四

y=kx+b

(k≠0)

k0，b0

一、二、四

y随x的增大而减小

k0，b0

二、三、四

3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系

在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．

①当–0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．

②当–=0，即b=0时，直线经过原点．

③当–0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．

4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：

①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；

③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．

四、待定系数法

1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．

2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤

（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．

（3）解方程，求出待定系数k．

（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．

3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤

（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．

（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．

（3）解二元一次方程组，求出k，b．

（4）将求得的k，b的值代入解析式．

五、一次函数与正比例函数的区别与联系

正比例函数

一次函数

区别

一般形式

y=kx+b（k是常数，且k≠0）

y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）

图象

经过原点的一条直线

一条直线

k，b符号的作用

k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限

k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限

求解析式的条件

只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标

需要两对x，y的对应值或两个点的坐标

联系

比例函数是特殊的一次函数．

②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个