第7讲 差分方程-数模讲座50.pdf

数学建模与数学实验

第7讲差分方程

第9章差分方程

9.1差分方程模型

aa(0in)

对一数列，把数列中的和前面的

ni

关联起来的方程叫做差分方程，差分方程也叫做

递推关系。

例1:汉诺塔问题：个大小不同的圆盘仪其半

径大小依次套在桩A上，在的在下，小的在上

，现要将n个盘移到空桩B或C上，但要求一次

只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘

在下，小盘在上，移动过程中桩A也可利用，

设移动n个盘的次数为，试建立关于的差分方

程。

a

n1

解先将A上的n-1个盘按题设要求移到C上，

a

这需要移动次，再将A上的最大盘移到B

n1

上，这需要一次，最后将C上的n-1个盘按要

a

求移到B上，这又需要移动次，于是得差分

n1

方程：

a2a1

a

n1{nn1

a1

n

ABC

例2设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定

两月长成成兔，同时（即第三月）开始每月初产

雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖

，设第n月末共有对兔子，试建立关于的差分方

程。

解:因第n月末的兔子包括两部分，一部分为

上月留下的，另一部分为当月新生的，而由

题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所

以

FFF

{nn1n2

FF1

12

F定义为fibonacci数列。

n

9．2差分方程的解法

本节主要介绍常系数线性差分方程的解法.

9.2.1常系数线性齐次差分方程的解法

abababak0(1)

形如：n1n12n2kn

的差分方程，称为a



n

的k阶常系数线性齐次差分方程，其中b

i

为常数，b0,nk，方程:

k

kk1(2)

xbxb0

1k

称为差分方程（1）的特征方程，其根称为特征根。

例1．求Fibonacci数