微分方程初值问题的数值解法.ppt

记由得称为[xk,xk+1]上的平均斜率.故2、Runge-Kutta方法只要对K*提供不同的算法,就会得出不同的计算公式.如取则得改进的Euler公式,它是利用xk,xk+1两点的斜率值K1,K2的算术平均值作为K*,精度比Euler法高.则得Euler公式;取第29页,共52页，2024年2月25日，星期天Runge-Kutta法的基本思想:设法在[xk,xk+1]内多预报几个点的斜率,再将它们的加权平均值作为平均斜率K*一般显式Runge-Kutta公式为:其中为待定参数,且.称为r级Runge-Kutta方法计算公式.②第30页,共52页，2024年2月25日，星期天即可得p个方程,从而确定出待定参数.代入表达式即可得到计算公式.如果要求两个表达式的前p+1项完全重合,即局部截断误差达到,则称②式为p阶r级的Runge-Kutta方法.常用的是r=2,3,4级的R-K方法,且适当选取参数使得p=r.如要求:注:式中待定参数的确定:先将②式右端在(xk,yk)处展成h的幂级数(即将yk+1展成h的幂级数);再将y(xk+1)作Taylor级数展开;最后比较两式中hk(k=0,1,2,…)的系数,以确定出所有待定参数.第31页,共52页，2024年2月25日，星期天Runge-Kutta方法的推导(以r=2为例):当r=2时记第32页,共52页，2024年2月25日，星期天则又第33页,共52页，2024年2月25日，星期天这是一个四个参数三个方程的非线性方程组.它有一个自由度.称满足上述方程组的一族公式为二级二阶Runge-Kutta方法.为使局部截断误差为,比较上述两式右端同次幂系数,应取第34页,共52页，2024年2月25日，星期天(1)常用的二阶Runge-Kutta方法:预估-校正算法(2)中间点方法第35页,共52页，2024年2月25日，星期天注:二级Runge-Kutta方法的精度最高是二阶的,不可能达到三阶.要提高计算方法的阶,就必须增加预报点.常用的三阶Runge-Kutta方法(r=3):(1)Heun(休恩)方法(3)三阶Kutta方法第36页,共52页，2024年2月25日，星期天(1)三阶Heun方法标准(经典)四阶Runge-Kutta方法(2)常用的四阶Runge-Kutta方法(r=4):第37页,共52页，2024年2月25日，星期天(2)称为Gill(吉尔)方法注:从理论上讲,可以构造任意高阶的计算方法.但事实上,精度的阶数与预报点的个数之间并非等量关系.预报点的个数r123456789r≥10精度的阶数123445667≤r-2一般情况下,四阶Runge-Kutta方法已可满足精度要求.第38页,共52页，2024年2月25日，星期天例3:用经典Runge-Kutta方法求解下列初值问题(取h=0.1)解:标准Runge-Kutta公式为:计算结果见下表.为比较在相同计算量条件下近似解的精度,表中列出了Euler法(h=0.025)和改进的Euler法(h=0.05)在相应节点上的计算结果.第39页,共52页，2024年2月25日，星期天xiEuler法h=0.025改进Euler法h=0.05经典R-K法h=0.1准确解0.11.1114391.1153801.1155121.1155130.21.2552091.2639141.2642081.2642080.31.4346671.4490891.4495761.4495760.41.6535171.6747561.6754731.6754740.51.9158491.9451711.9461621.9461640.62.2261782.2650402.2663542.2663560.72.5894852.6395612.6412552.6412580.83.0112713.0744793.0766193.0766230.93.4976063.5761443