综合训练07平面向量及其应用（10种题型60题专练）（解析版）.docx

综合训练07平面向量及其应用（10种题型60题专练）

一．平面向量数量积的性质及其运算（共9小题）

1．（2023?大理州模拟）若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（）

A． B． C．4 D．12

【分析】先求向量的数量积，然后利用向量的模的求解方法求解即可．

【解答】解：因为平面向量与的夹角为60°，，，

所以||＝2，，

所以．

故选：B．

【点评】本题主要考查向量数量积运算，向量模的运算性质，考查运算求解能力，属于基础题．

2．（2023?广西模拟）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝3，∠BAC＝，＝2，则?＝（）

A．18 B．9 C．12 D．6

【分析】利用平面向量的数乘与加减运算，把问题转化为的数量积求解．

【解答】解：∵＝2，∴，

＝，

∴?＝＝

＝＝＝6．

故选：D．

【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．

3．（2023?市中区校级模拟）在△ABC中，有，则tanC的最大值是（）

A． B． C． D．

【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边a，b，c的关系，利用基本不等式求出cosC的最小值，显然C为锐角，要使tanC取最大值，则cosC取最小值，从而得出sinC的最大值，即可得出答案．

【解答】解：∵，

∴，

又，，

∴，

∴，即a2+2b2＝3c2，

∴由余弦定理得，当且仅当即时等号成立，

在△ABC中，C为锐角，要使tanC取最大值，则cosC取最小值，此时，

∴，即tanC的最大值是．

故选：D．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

4．（2023?阿勒泰地区一模）在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝135°，，若AD⊥AC，则λ＝（）

A． B． C． D．

【分析】将表示成，再根据，利用平面向量数量积的运算求出λ的值．

【解答】解：，

∵AD⊥AC，

∴，

∴，

则，，，（1﹣λ）×1×2×cos135°+λ22＝0，，即，即，解得，即．

故选：D．

【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．

5．（2023?河北模拟）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知A，B两点间的距离为2，点P为上的一点，则的最小值为．

【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为，再利用三角形的几何意义求解即可．

【解答】解：设D为BC的中点，E为AD的中点，如图所示，

则＝，

在正三角形ABC中，，

所以，

所以，

因为，

所以，

所以的最小值为：．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．

6．（2023?重庆模拟）已知向量的夹角为60°，，若对任意的x1、x2∈（m，+∞），且x1＜x2，，则m的取值范围是（）

A．[e3，+∞） B．[e，+∞） C． D．

【分析】根据向量数量积的定义求得，于是由数量积的应用可得，对任意的x1、x2∈（m，+∞），且x1＜x2，则将转化为，即，则构造函数得函数在（m，+∞）上单调递减，求导判断f（x）单调性，即可得m的取值范围．

【解答】解：已知向量的夹角为60°，，

则，

所以，

所以对任意的x1、x2∈（m，+∞），且x1＜x2，，则x11nx2﹣x21nx1＜2x1﹣2x2，

所以，即，设，即f（x）在（m，+∞）上单调递减，

又x∈（0，+∞）时，，解得x＝e3，

所以x∈（0，e3），f'（x）＞0，f（x）在x∈（0，e3）上单调递增；

x∈（e3，+∞），f'（x）＜0，f（x）在x∈（e3，+∞）上单调递减，

所以m≥e3．

故选：A．

【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，导数研究函数的单调性，属中档题．

7．（2023?毕节市模拟）已知点G为三角形ABC的重心，且，当∠C取最大值时，cosC＝（）

A． B． C． D．

【分析】由题设可得，结合，及余弦定理可得，根据基本不等式即可求解．

【解答】解：由题意，

所以，

即，

所以，

所以AG⊥BG，

又，，

则，

所以，即abcosC＝bccosA+accosB+c2，

由，，，

所以a2+b2＝5c2，

所以，当且仅当a＝b时等号成立，

又y＝cosx在（0，π）上单调递减，C∈（0，π），

所以当∠C取最大值时，cosC＝．

故选：A．

【点评】此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得a2+b2＝5c2，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题．

8．（2023?合肥三模）哥特式建筑是114