第16讲 向量小题（解析版）.docx

第16讲向量小题14类

【题型一】向量基础：“绕三角形”（基底拆分）

【典例分析】

我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

利用平面向量的加法法则和数乘向量求解.

【详解】

由题得

即，解得，即，

故选：B

【变式演练】

1.如图，在中，为中点，在线段上，且，则（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

求得关于、的表达式，利用平面向量的减法法则可得出关于、的表达式.

【详解】

为的中点，则，

，，

.

故选：B.

2.如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则＝（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.

【详解】

解：

故选：C.

3.，，为所在平面内三点，且，，，则（）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

画出图形，根据向量线性运算求解即可.

解：由题知，为中点，为三等分点且靠近点，为中点，如图，

所以．故选：D.

【题型二】系数未知型“绕三角形”

【典例分析】

如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为()

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】

因为，设，而，所以且，故，应选答案A．

【变式演练】

1.如图，正方形中，分别是的中点，若则（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

试题分析：取向量作为一组基底，则有，所以

又，所以，即.

2.在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

设，由，，得到，结合平面向量的基本定理，化简得到，即可求解.

【详解】

由题意，设，则在平行四边形ABCD中，

因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，

所以，

又因为，且，

所以，

所以，解得，所以。故选：B.

3.如图，中，与交于，设，，，则为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】延长交于点，由于与交于，可知：点是的重心，利用三角形重心的性质和向量的平行四边形法则即可得到答案．

【详解】延长交于点；

与交于，点是的重心，，，

又

，则为；故答案选A

【题型三】求最值型“绕三角形”

【典例分析】

在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.

【详解】如下图所示：

，即，，

，，，，

，、、三点共线，则.

，

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.

【变式演练】

1.已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．

【详解】因为是内一点，且所以O为的重心

在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时

所以，即

当M与C重合时，最大，此时所以，即

因为在内且不含边界所以取开区间，即所以选B

2.在中，，M为线段EF的中点，若，则的最大值为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简得到，根据得到，得到的最大值.

【详解】

，

故

故，故.

当时等号成立.故选：.

3.中，为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（）

A．B．C．6D．8

【答案】D

【解析】，因为三点共线，所以且，则，当且仅当，即时，上式取等号，故有最小值8，故选D．

【题型四】数量积

【典例分析】

已知菱形ABCD边长为2，∠B＝，点P满足＝λ，λ∈R，若·＝－3，则λ的值为()

A． B．－ C． D．－

【答案】A

【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．

【详解】法一：由题意可得·＝2×2cos＝2，

·＝(＋)·(－)＝(＋)·[(－)－]＝(＋)·[(λ－1)·－]

＝(1－λ)2－·＋(1－λ)··－2

＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝，故选A.

法二：建立如图所示的平面直角坐标系，

则B(2,0)，C(1，)，D(－1，)．

令P(x,0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.

∵＝λ，∴λ＝.故选A.

【变式演练】

1.如图，在等腰直角中，，C为靠近点A的线段