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2024届千校联盟高三最后一模数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图,在中,点,分别为,的中点,若,,且满足,则等于()
A.2 B. C. D.
2.已知双曲线的一条渐近线为,圆与相切于点,若的面积为,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
3.已知函数,其中表示不超过的最大正整数,则下列结论正确的是()
A.的值域是 B.是奇函数
C.是周期函数 D.是增函数
4.如图所示,为了测量、两座岛屿间的距离,小船从初始位置出发,已知在的北偏西的方向上,在的北偏东的方向上,现在船往东开2百海里到达处,此时测得在的北偏西的方向上,再开回处,由向西开百海里到达处,测得在的北偏东的方向上,则、两座岛屿间的距离为()
A.3 B. C.4 D.
5.已知倾斜角为的直线与直线垂直,则()
A. B. C. D.
6.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若,则λ+μ的值为()
A. B. C. D.
7.国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是()
A.12个月的PMI值不低于50%的频率为
B.12个月的PMI值的平均值低于50%
C.12个月的PMI值的众数为49.4%
D.12个月的PMI值的中位数为50.3%
8.欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9.若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()
A.240 B.264 C.274 D.282
10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(即质数)的和”,如,.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于20的概率是()
A. B. C. D.以上都不对
11.已知锐角满足则()
A. B. C. D.
12.设函数定义域为全体实数,令.有以下6个论断:
①是奇函数时,是奇函数;
②是偶函数时,是奇函数;
③是偶函数时,是偶函数;
④是奇函数时,是偶函数
⑤是偶函数;
⑥对任意的实数,.
那么正确论断的编号是()
A.③④ B.①②⑥ C.③④⑥ D.③④⑤
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知各项均为正数的等比数列的前项积为,,(且),则__________.
14.已知,在方向上的投影为,则与的夹角为_________.
15.已知向量,,若满足,且方向相同,则__________.
16.定义在上的偶函数满足,且,当时,.已知方程在区间上所有的实数根之和为.将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则__________,__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知定点,,直线、相交于点,且它们的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线。
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线与曲线交于、两点,是否存在定点,使得直线与斜率之积为定值,若存在,求出坐标;若不存在,请说明理由。
18.(12分)已知
(1)若,且函数在区间上单调递增,求实数a的范围;
(2)若函数有两个极值点,且存在满足,令函数,试判断零点的个数并证明.
19.(12分)已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)点P是椭圆上异于短轴端点A,B的任意一点,过点P作轴于Q,线段PQ的中点为M.直线AM与直线交于点N,D为线段BN的中点,设O为坐标原点,试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系.
20.(12分)已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上,圆心在直线上的圆与轴相切,且关于点对称.
(1)求和的标准方程;
(2)过点的直线与交于,与交于,求证:.
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