高数下册上课第08章07节空间曲线及其方程(1).docVIP

第7节空间曲线及其方程

7.1空间曲线的方程

1曲线的一般方程

空间曲线可以看作是两张曲面与的交线（图7.1）．设与的方程分别是与。曲线的充要条件是的坐标满足方程组

．(7.1)

因此，(7.1)是曲线的方程，称为曲线的一般方程．

例如表示柱面与平面的交线（图7.2）．

图7.2

图7.2

图7.1

z

z

【例7.1】以下方程分别表示怎样的曲线？

(1) (2).

解(1)方程组可化为,其中第一个方程表示中心在原点，半径为的上半球面；第二个方程表示母线平行于轴，准线是面上以点为中心，半径为圆周的圆柱面，方程组表示这两个曲面的交线(图7.3)．

图7.3图7.4

(2)方程组中第一个方程表示顶点在坐标原点,开口向上的旋转抛物面；第二个方程表示母线平行于轴，准线是面上以点(0,2)为顶点，开口向下的抛物线的抛物柱面，方程组表示这两个曲面的交线(图7.4)．

2曲线的参数方程

空间曲线也可以用参数方程来表示。

把曲线上的动点的坐标分别表示成参数的函数

,(7.2)

方程组(7.2)叫做曲线的参数方程．

曲线的参数方程(7.2)的意思是：当参数跑遍时，动点正好跑遍曲线。

当给定时，由(7.2)式就得到曲线上的一个点。

【例7.2】如果空间一点在圆柱面上以角速率绕轴旋转，同时又以线速率沿平行于轴的正方向上升，其中，都是常数，点的轨迹曲线叫螺旋线，试建立其参数方程．

解取时间为参数,设当时，动点与轴上的点重合，经过时间，动点由运动到．记在面上的投影为．

图7.5由于动点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，经过时间，，从而

图7.5

.

又由于动点同时以线速度沿平行于轴正方向上升，所以．因此，螺旋线的参数方程为

.

令，则方程形式可化为

，（为参数）

螺旋线是一种常见的曲线.比如螺丝钉的螺丝曲线就是螺旋线.

与平面曲线情形类似，参数方程消除参数t就得到一般方程；空间曲线的一般方程也可以化为参数方程．下面用例子说明曲线一般方程化为参数方程的方法。

【例7.3】将空间曲线表示成参数方程．

解由方程组消去得

,

变形得

.

由于在此椭圆柱面上，故的方程可用如下形式来表示

.

如果令，由椭圆柱面方程,有，而

,

则曲线又可表示成为

.

（如果以作为参数，即令,则

,,

从而得到曲线的参数方程

,

且参数的取值范围为,即．）

也可以把空间曲线的参数方程化为一般方程．

,(7.2)

(7.2)消除参数，例如，从(7.2)的第一个等式解出，再代入其他两个等式，就得到与(7.2)等效的一般方程

7.2空间曲线在坐标面上的投影

以空间曲线为准线,母线平行于轴的柱面叫做对面的投影柱面.投影柱面与面的交线叫做在面的投影曲线.

．(7.1)

设空间曲线的一般方程由(7.1)给出。方程组(7.1)消去变量之后得到方程

.(7.3)

(7.1)与

或

是等效的，都是的方程。

(7.3)是准线为，母线平行于轴的柱面，从而是对面的投影柱面.故，在面的投影曲线是

(7.4)

类似地，消去方程组(7.1)中的变量,得,再与联立就得到包含在面上的投影曲线的曲线方程：

.

消去方程组(7.1)中的变量,得,再与联立就得到包含在面上的投影曲线的曲线方程：

.

【例7.4】求曲线

在面和面上的投影曲线方程．

图7.6

图7.6

解先求包含曲线且母线平行于轴的柱面，从方程组

中消去，得，将其代入第一个方程得到

,

这是曲线对面的投影柱面的方程．从而得曲线在面上的投影曲线,为一椭圆:

.

再由所给方程组消去.将两方程相减,得到曲线对面的投影柱面:

,

从而得曲线在面上的投影曲线:

,（（从原方程组的第一个方程看出））

它表示面上的一条直线段.如图7.6所示．

思考题：

1．试求例7.4中曲线在面上的投影曲线．

有时，我们需要确定一个空间立体（或空间曲面）在坐标面上的投影，一般来说，这种投影往往是一个平面区域，我们称它为空间立体（或空间曲面）在坐标面上的投影区域．利用投影柱面与投影曲线可以确定投影区域.

图7.7【例7.5】求上半球面和锥面所围成的空间立体在面上的投影区域．

图7.7

解的边界（抓住边界！！）是上半球面与锥面的交线:

在面上的投影。由方程组消去变量，有

.

这是母线平行于轴的投影柱面，在面的投影曲线为:

,

这是