浙江G5联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题（解析版）.docxVIP

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2023学年第二学期浙江G5联盟期中联考

高一年级数学学科试题

考生须知：

1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．

4．考试结束后，只需上交答题纸．

选择题部分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设向量，，且，则（）

A.1 B. C.1或 D.或3

【答案】C

【解析】

【分析】由，可得，再根据数量积的坐标公式计算即可.

【详解】因为，

所以，解得或.

故选：C.

2.已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据斜二测画法的公式，画出复原图即可求解.

【详解】因为，，取的中点为坐标原点，以为建立坐标系如左图，

因为斜二测直观图为矩形，，，

则，

可得原图中（右图），，，

所以四边形的面积为.

故选：B.

3.已知向量，，则向量和向量夹角的正弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的夹角公式求出，再根据平方关系求出正弦值.

【详解】因为向量，，

所以，

因为，

所以，

所以向量和向量夹角的正弦值为，

故选：D.

4.在中，角的平分线交于，，，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用等面积法结合二倍角公式求解即可.

【详解】设，则，

因为，

所以，

即，

又，所以，所以，

所以，

所以.

故选：B.

5.法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意化简即可得解.

【详解】根据题意，由，

可得

.

故虚部为.

故选：C

6.圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点(，，三点共线)处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是15°和60°，在楼顶处测得塔顶的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】求得，再在三角形中，运用正弦定理可得，再解直角三角形，计算可得所求值．

【详解】解：在直角三角形中，．

在中，，，

故，

由正弦定理，，

故．

在直角三角形中，．

故选：D．

7.已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是

A B. C.2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.

【详解】设，

则由得，

由得

因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.

【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.

8.已知，，，为球面上四点，，分别是，的中点，以为直径的球称为，的“伴随球”，若三棱锥的四个顶点在表面积为的球面上，它的两条边，的长度分别为和，则，的伴随球的体积的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知求出三棱锥的外接球半径，求出，进一步求出的范围，从而得出答案即可．

【详解】设三棱锥外接球的半径为，

则，所以球的半径为，

则球的两条弦的中点为，

则，

即弦分别是以为球心，半径为3和2的球的切线，

且弦在以为球心，半径为2的球的外部，

的最大距离为，最小距离为，

当三点共线时，分别取最大值与最小值，

故的伴随球半径分别为，

半径为时，的伴随球的体积为，

当半径为时，的伴随球的体积．

∴的伴随球的表面积的取值范围是．

故选：D.

【点睛】关键点点睛：由三棱锥的外接球半径，求出是解题的关键．

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知复数，，则（）

A.为纯虚数

B.复数在复平面内对应的点位于第四象限

C.（注意：表示复数共轭复数）

D.满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线

【答案】AD

【解析】