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函数的奇偶性、周期性、对称性（二）

一、判断或证明函数的奇偶性

例1．判断下列函数的奇偶性

1?x1?x1?x2x?1?1（1）f(

1?x

1?x

1?x2

x?1?1

?x(1?x)

?（3）f(x)??x(1?x)

?

1?x

(x?0),

(x?0).

（4）f(x)? ??

x2

x2?1

1?x2

解析：（1）由

1?x

?0??1?x?1，故函数的定义域为[?1,1)，不关于原点对称，故该

函数没有奇偶性.

??1?x2?0

（2）由?

??|x?1|?1?0

???1?x?1

??

?

??x?0且x??2

??1?x?0或0?x?1，该函数的定义域为

[?1,0)?(0,1]关于原点对称，此时

f(x)? ? ? ，而

1?x2x?1?

1?x2

x?1?1

1?x2

1?x2

1?(?x)2f(?x

1?(?x)2

1?x2?? ??f(x)由上可知，函数f(

1?x2

（3）函数的定义域为(??,0)?(0,??)，定义域关于原点对称

???x(1?x)(?x?0)

而f(?x)??

???x(1?x)(?x?0)

???x(1?x)(x?0)

，即f(?x)??

???x(1?x)(x?0)

，故有f(?x)??f(x)

综上可知，该函数为奇函数.

??x2?1?0

（4）由?

??1?x2?0

?x??1，函数的定义域为??1,1?，关于原点对称

而f(?1)?0，故满足f(?x)??f(x)，也满足f(?x)?

故该函数既为奇函数，又是偶函数.

f(x)

a2?b2例2．定义两种运算：

a2?b2

,a?b?

，则f(x)?

2?x

2?(x?2)

(a

(a?b)2

A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．是非奇非偶函数

解 析 ：

f(x)?

2?x

?22?x22?(x?2)2 ?22?x22

?

22?x2

2?(x?2)2

?

22?x2

， 因 为

22?x2

?0，

??2?x?2，x?2?0

22?x222?x2故f

22?x2

22?x2

2?|x?2| 2?x?2

，此时函数的定义域为[?2,0)?(0,2]关于原点

4?

4?x2

对称

4?x2且f(?x)

4?x2

??f(x)，所以f(x)为奇函数.

例3．定义在区间(?1,1)上的函数

f(x)满足：对任意的

x,y?(?1,1)，都有

f(x)?f(y)?

f(x?y).求证f(x)为奇函数.

1?xy

解：令x?y?0，则f(0)?f(0)?

f(0?0)?

1?0

f(0)?

x?x

f(0)?0

令x?(?1,1),?x?(?1,1)?f(x)?f(?x)?

f( )?

1?x2

f(0)?0

?f(?x)??f(x)∴f(x)在(?1,1)上为奇函数.

二、由函数的奇偶性求参数的值

例4．若函数f(x)?

x

(2x?1)(x?a)

为奇函数,则a的值为()

1 2 3

A. B. C. D.1

2 3 4

解析：A.根据题意

f(?x)? ?x ??f(x)?

?x

，整理得

4ax?2x?0,则a=1

2

.

(?2x?1)(?x?a) (2x?1)(x?a)

例5．若函数f(x)?a?

2

2x?1

(a?R)为奇函数，则实数a的值()

A.等于0B.等于1C.等于2D.不存在

解析：法一：若函数

2 2

f(x)?a?

2

2x?1

(a?R)为奇函数，则

f(?x)??f(x)即

a?2?