《函数极值与最值》课件.pptxVIP

函数极值与最值制作人：时间：2024年X月

目录第1章简介

第2章函数极值

第3章函数最值

第4章函数优化问题

第5章综合应用

第6章总结

01第1章简介

函数及其图像函数是研究量与量之间相互依存关系的一种工具，图像则是函数的形象化表达。函数在不同区间具有单调性和凹凸性，研究函数的局部极值和最值有助于我们更好地理解函数的性质与应用。

函数的单调性和凹凸性函数在不同区间的单调性单调性函数在不同区间的凹凸性凹凸性函数的局部极值和最值极值一阶导数与函数单调性、极值和最值之间的关系一阶导数

导数的性质和应用导数的几何意义和计算方法导数的定义可导函数的四则运算和复合运算导数的性质导数与函数单调性之间的关系单调性导数与函数极值和最值之间的关系极值和最值

泰勒展开式泰勒展开式的概念和应用

泰勒展开式的误差估计高阶导数高阶导数的定义和性质

高阶导数与泰勒展开式之间的关系麦克劳林级数麦克劳林级数的概念和应用

麦克劳林级数与泰勒展开式的区别泰勒公式和泰勒展开式泰勒公式泰勒公式的概念和公式

泰勒公式在微积分和物理学中的应用

求解函数极值和最值的实际应用最小值和最大值0103利润最大化、成本最小化和收益最大化等经济学问题的求解经济学02利用函数极值和最值进行产品设计、方案规划和效率提升等优化问题优化

02第2章函数极值

函数的极值概念函数的极值即为函数在某一区间内的最大值或最小值，极大值、极小值、极值点和最值点都是其概念的具体体现。我们可以通过图像进行直观的理解和展示。

一元函数极值的求法一元函数极值的求法主要有求导法和二分法两种方法。求法判断一元函数是否有极值的条件为函数在极值点处导数为0或不存在，同时端点也需要考虑。条件通过例题演示如何使用求导法求解一元函数的极值。示例一元函数的极值点有可能是每段单调区间的端点、拐点或峰谷点。性质

多元函数极值的求法多元函数是指含有多个自变量的函数，求解其极值需要使用偏导数的概念。概念首先需要求得偏导数，然后将其方程组解出，即可得到极值点。求法判断多元函数是否有极值的条件为函数在极值点处偏导数为0或不存在，同时还需要考虑是否为极值点。条件通过例题演示如何使用偏导数法求解多元函数的极值。示例

函数极值的应用实例函数极值在实际问题中具有广泛应用，例如在生产成本最小化、收益最大化、投资组合优化、物理学中的力学问题等方面都有应用。通过对实际问题的分析，我们可以将其转换为函数极值问题，并通过求解得到最优解。

函数极值的充分条件与必要条件函数在极值点处导数存在且左右导数符号相反。充分条件函数在极值点处导数为0或不存在。必要条件函数的极大值和极小值都是函数的最值，它们的差称为函数的极差。性质通过充分条件和必要条件，我们可以判断函数是否具有极值，从而解决实际问题。应用

首先需要确定函数的定义域，它是函数极值求解的重要前提。确定函数的定义域0103然后通过求解导数方程，得到函数极值的取值。求函数极值02然后需要求导数，对导数进行符号分析，得到关键点。求导数

多元函数极值含有多个自变量

使用偏导数法

需要考虑各变量之间的相互影响应用一元函数极值在经济学、最优化等领域有广泛应用

多元函数极值在物理学、工程学、生物学等领域有广泛应用注意点分别使用不同的求解方法，不要混淆

多元函数的求解难度大于一元函数一元函数极值和多元函数极值的区别一元函数极值只含有一个自变量

使用求导法或二分法

只需考虑单个变量的变化对函数的影响

03第3章函数最值

函数的最大值和最小值介绍函数的最值概念最值概念解释最大值、最小值及其存在条件存在条件强调最值与极值的区别最值与极值的区别

一元函数最值的求法学习求一元函数的最值的方法方法研究最值存在的充分条件和必要条件充分条件和必要条件通过例题演示如何求解例题演示

多元函数最值的求法了解多元函数和偏导数的概念概念学习求多元函数的最值的方法方法通过例题演示如何求解例题演示

函数最值的应用实例函数最值在实际问题中有重要应用。我们经常需要考虑如何最大化或最小化某些量，例如生产效益、利润等。解决这类问题最常用的方法就是求函数的最值，这样做可以使问题得到较好的解决。下面我们来看一些相关的例子。

例2研究问题如何最快地找到研究结果？

如何通过分析数据得出创新点？

如何实现研究数据的可视化展示？

如何对研究结果进行验证和优化？例3经济问题如何优化投资组合，以获得最高收益？

如何控制通货膨胀，保持经济稳定？

如何制定税收政策，促进经济发展？

如何处理贸易争端，维护国际贸易秩序？例4工程问题如何降低建筑成本，提高质量？

如何确保工程的安全性和可持续性？

如何优化工程设计，提高效率？

如何解决工程中的难点和技术壁垒？应用实例例1生产问题