多元函数极限与连续.ppt

区域点P1与P2，总存在D中的折线把P1与P2连接起来，设为一非空开集，如果对于D中任意两则称D是连通的。连通的开集称为R2中的开区域；开区域与其边界所构成的集合，称为闭区域.开区域与闭区域统称为区域.第31页,共50页，2024年2月25日，星期天例如，和都是R2中的开区域.和都是R2中的闭区域.第32页,共50页，2024年2月25日，星期天定义4-1二元函数,记为设D为平面上非空点集，若存在对应法则f,使得对D中每一个点按照对应法则f，对应唯一一个z，则对应法则f为定义在D上的“点函数”.这样可使多元函数,一元函数在形式上保持一致.4.2.2二元函数的概念第33页,共50页，2024年2月25日，星期天称为函数f的值域.函数f的定义域，z称为因变量,D称为称为自变量，其中类似地可以得到n元函数的定义：注1注2二元与二元以上函数统称为多元函数.当n=1时，就是我们以前所学的一元函数；第34页,共50页，2024年2月25日，星期天二元函数的定义域与一元函数一样，在讨论用解析式表示的函数时，其定义域是一切使该解析式有意义的平面点的集合.若函数所表示的是某一实际问题，则自变量的取值范围要符合实际.下面我们将举例说明.二元函数的定义域在几何上表示一个平面区域围成平面区域的曲线称为该区域的边界.第35页,共50页，2024年2月25日，星期天例4解:要使函数有意义，x,y必须满足：xyo11-1-1求函数的定义域D，并画出D的示意图.故定义域其图形如下图所示.第36页,共50页，2024年2月25日，星期天二元函数的图形在直角坐标系中，取x为横坐标，y为纵坐标，{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)∈D}称为二元函数z=f(x,y)的图形，它通常是一张曲面，该曲面在z为竖坐标，则空间中点集z=f(x,y)的定义域D.xy平面上的投影就是函数第37页,共50页，2024年2月25日，星期天4.3二元函数的极限与连续4.3.1二元函数的极限4.3.2二元函数的连续第38页,共50页，2024年2月25日，星期天4.3.1二元函数的极限定义4-2设二元函数f(x,y)定义在平面点集D上,P0(x0,y0)记为或为D的聚点，A为一常数.如果当动点P(x,y)在D内沿任意路径趋于点P0(x0,y0)时，函数f(x,y)无限趋于常数A，则称A是f(x,y)当P(x,y)→P0(x0,y0)时的极限.第39页,共50页，2024年2月25日，星期天注1注2亦可写成通常称之为二重极限.若在D内当P沿着两条不同的路径趋向于P0动点P在D内趋向于定点P0的方式是任意的，即在D内沿任意路径趋向于P0，f(P)均以A为极限.时，f(P)的极限不同，或者沿着某一路径趋向于P0时，f(P)的极限不存在，则称f(P)在P→P0时极限不存在，或称之为发散.第40页,共50页，2024年2月25日，星期天例5解：当k取不同值时，其极限不同，故原式极限(1)当(x,y)沿射线y=kx趋于(0,0)时，有判断下列极限是否存在,若存在求出其值.不存在.返回第41页,共50页，2024年2月25日，星期天(2)由得由此，当(x,y)→(0,0)时，故第42页,共50页，2024年2月25日，星期天例6解：(1)当(x,y)→(6,0)时，xy→0，sinxy～xy，求下列极限.(1)(2)因此第43页,共50页，2024年2月25日，星期天(2)由乘积的极限运算法则得第44页,共50页，2024年2月25日，星期天定义4-32.二元函数的连续设二元函数z?f(x?y)在点P0(x0?y0)的某邻域则称函数f(x,y)在点P0(x0?y0)处连续，否则称函内有定义，如果极限数f(x,y)在点P0(x0?y0)处间断（不连续）.第45页,共50页，2024年2月25日，星期天如果二元函数f(x,y)在区域D内每一点处都连续,形是一张连续的曲面.注1二元连续函数的和、差、积和商（分母不则称f(x,y)在D内连续，此时z=f(x,y)在D内的图为零）及复合函数是连续的.第46页,共50页，2024年2月25日，星期天注2二元初等函数就是