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绝密★启用前
江西省2023—2024学年高二年级上学期期中调研测试
数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为()
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.双曲线的焦点坐标为()
A., B.,
C., D.,
3.已知空间向量,,,则()
A.1 B.2 C.3 D.4
4.设抛物线:()的焦点为,若点在上,则()
A. B. C. D.
5.如图,已知正四棱锥的底面的中心为,,,,则()
A. B. C. D.
6.设椭圆:()的左、右焦点为,.若点在上,则的周长为()
A.4 B.6 C.8 D.10
7.倍立方问题是古希腊三大几何问题之一.倍立方问题是指给定一个棱长为的正方体,作另一个正方体,使得这个正方体体积是原来正方体体积的两倍(即给出长度为的线段).古希腊数学家梅内克缪斯采用了抛物线的工具研究倍立方问题:在平面直角坐标系上,画出抛物线()和抛物线(),使得这两个抛物线的其中一个交点横坐标为,则的值应取为()
A. B. C. D.
8.已知点与点关于直线对称,与点关于轴对称,若过,,三点的圆与轴和直线交于四点,则该四点所围成的四边形的面积为()
A. B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知曲线:.下列说法正确的是()
A.当时,是一条直线 B.当时,是椭圆
C.当时,是半径为的圆 D.当时,是双曲线
10.已知正方体,下列选项中,能成为空间中的一组基底的为()
A. B. C. D.
11.设,双曲线的离心率为,椭圆的离心率为,则()
A. B. C. D.
12.已知曲线:是长轴与短轴分别在直线与上的椭圆.整点指的是横、纵坐标均为整数的点.则()
A.的短轴长为
B.的焦距为
C.若点在上,则且
D.经过6个整点
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知,,空间向量,.若,则______.
14.两条平行线与之间的距离为______.
15.已知直线:,圆:,圆:.写出满足“直线与圆,的公共点个数之和为3”的的一个值______.(写出一个即可)
16.已知双曲线:(,)的右焦点为,为坐标原点,以为直径的圆与的渐近线交于,,三点.记四边形的面积为,圆的面积为,则当取最大值时,的离心率为______.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知圆:,圆:().
(1)若圆与圆相外切,求的值;
(2)若圆与圆有两个公共点,求的取值范围.
18.(12分)已知为坐标原点,直线:,直线:,,交于点.
(1)求点的坐标;
(2)若点在上,且,求线段的长度.
19.(12分)如图,在直三棱柱中,线段,,的中点分别为,,.已知,,.
(1)证明:;
(2)求.
20.(12分)设椭圆:()的上顶点为,左焦点为.且,在直线上.
(1)求的标准方程;
(2)若直线与交于,两点,且点为中点,求直线的方程.
21.(12分)轮船在海面上航行时,一般是通过发送电磁波信号实现定位.发送电磁波信号后,根据两个基站接收信号的时间差,便可以定位轮船在海面上大概的位置.建立平面直角坐标系(单位:千米),轴正半轴方向为正北方向,纵坐标小于0的部分为陆地,纵坐标大于0的部分为海面.已知两个基站的位置分别为,,一港口位于基站,之间靠近的位置.现有一艘轮船从港口出发沿着直线航行一段时间后到达点,并发出电磁波信号,两个基站接收到信号的时间差为秒(不知道两个基站接收信号的先后顺序).已知电磁波在空气中的传播速度为千米/秒.
(1)求点的轨迹方程;
(2)已知在港口发出电磁波信号后,两个基站接收到信号的时间差为秒.若这艘轮船的航行方向是东偏北45°,求这艘轮船从港口出发到海面上发送信号的这段时间航行的距离(结果保留整数,单位:千米).
参考数据:.
22.(12分)设抛物线:(),圆:.已知上的点到的准线的距离的最大值为8.
(1)求;
(2)倾斜角为45°的直线与交于,两点,与交于,两点.
(ⅰ)若为圆的直径,求的面积;
(ⅱ)当取最大值时,求直线在轴上
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