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2024届豫晋冀高三第一次调研测试数学试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知正项等比数列满足,若存在两项,,使得,则的最小值为().
A.16 B. C.5 D.4
2.已知非零向量满足,,且与的夹角为,则()
A.6 B. C. D.3
3.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“乐”不排在第一节,“射”和“御”两门课程不相邻,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()种.
A.408 B.120 C.156 D.240
4.下列与函数定义域和单调性都相同的函数是()
A. B. C. D.
5.若的展开式中的系数为150,则()
A.20 B.15 C.10 D.25
6.若函数函数只有1个零点,则的取值范围是()
A. B. C. D.
7.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为()
A. B.6 C. D.
8.设复数满足,在复平面内对应的点为,则()
A. B. C. D.
9.将函数的图象分别向右平移个单位长度与向左平移(0)个单位长度,若所得到的两个图象重合,则的最小值为()
A. B. C. D.
10.抛物线的焦点为,准线为,,是抛物线上的两个动点,且满足,设线段的中点在上的投影为,则的最大值是()
A. B. C. D.
11.已知函数(,且)在区间上的值域为,则()
A. B. C.或 D.或4
12.已知函数,,且在上是单调函数,则下列说法正确的是()
A. B.
C.函数在上单调递减 D.函数的图像关于点对称
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.“”是“”的__________条件.(填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一)
14.在三棱锥中,三条侧棱两两垂直,,则三棱锥外接球的表面积的最小值为________.
15.在△ABC中,∠BAC=,AD为∠BAC的角平分线,且,若AB=2,则BC=_______.
16.曲线在点处的切线方程为__.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在中,角的对边分别为,且,.
(1)求的值;
(2)若求的面积.
18.(12分)已知函数,.
(1)当时,
①求函数在点处的切线方程;
②比较与的大小;
(2)当时,若对时,,且有唯一零点,证明:.
19.(12分)已知函数
(1)若函数在处取得极值1,证明:
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
20.(12分)如图,四棱锥中,底面ABCD为菱形,平面ABCD,BD交AC于点E,F是线段PC中点,G为线段EC中点.
Ⅰ求证:平面PBD;
Ⅱ求证:.
21.(12分)如图,在四棱柱中,平面,底面ABCD满足∥BC,且
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
22.(10分)已知椭圆的焦距为,斜率为的直线与椭圆交于两点,若线段的中点为,且直线的斜率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过左焦点斜率为的直线与椭圆交于点为椭圆上一点,且满足,问:是否为定值?若是,求出此定值,若不是,说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
由,可得,由,可得,再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.
【详解】
设等比数列公比为,由已知,,即,
解得或(舍),又,所以,
即,故,所以
,当且仅当时,等号成立.
故选:D.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题,涉及到等比数列的知识,是一道中档题.
2、D
【解析】
利用向量的加法的平行四边形法则,判断四边形的形状,推出结果即可.
【详解】
解:非零向量,满足,可知两个向量垂直,,且与的夹角为,
说明以向量,为邻边,为对角线的平行四边形是正方形,所以则.
故选:.
【点睛】
本题考查向量的几何意义,向量加法的平行四边形法则的应用,考查分析问题解决问题的能力,属于基础题.
3、A
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