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2024届苏州实验中学高考数学三模试卷
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知,若,则等于()
A.3 B.4 C.5 D.6
2.已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,,若,则的值为()
A.1 B.-1 C.8l D.-81
3.已知是等差数列的前项和,若,,则()
A.5 B.10 C.15 D.20
4.若,则函数在区间内单调递增的概率是()
A.B.C.D.
5.在函数:①;②;③;④中,最小正周期为的所有函数为()
A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③
6.的展开式中,含项的系数为()
A. B. C. D.
7.《周易》是我国古代典籍,用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图,包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成,其中“”表示一个阳爻,“”表示一个阴爻)若从八卦中任取两卦,这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为()
A. B. C. D.
8.从抛物线上一点(点在轴上方)引抛物线准线的垂线,垂足为,且,设抛物线的焦点为,则直线的斜率为()
A. B. C. D.
9.在正方体中,点、分别为、的中点,过点作平面使平面,平面若直线平面,则的值为()
A. B. C. D.
10.集合,,则()
A. B. C. D.
11.已知定义在上的奇函数,其导函数为,当时,恒有.则不等式的解集为().
A. B.
C.或 D.或
12.某校在高一年级进行了数学竞赛(总分100分),下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩:
55
57
59
61
68
64
62
59
80
88
98
95
60
73
88
74
86
77
79
94
97
100
99
97
89
81
80
60
79
60
82
95
90
93
90
85
80
77
99
68
如图的算法框图中输入的为上表中的学生的数学竞赛成绩,运行相应的程序,输出,的值,则()
A.6 B.8 C.10 D.12
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在中,,,则_________.
14.已知“在中,”,类比以上正弦定理,“在三棱锥中,侧棱与平面所成的角为、与平面所成的角为,则________.
15.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩,并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[250,400)内的学生共有____人.
16.(5分)在平面直角坐标系中,过点作倾斜角为的直线,已知直线与圆相交于两点,则弦的长等于____________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若不等式对恒成立,求实数的取值范围.
18.(12分)已知直线是曲线的切线.
(1)求函数的解析式,
(2)若,证明:对于任意,有且仅有一个零点.
19.(12分)如图,在正三棱柱中,,,分别为,的中点.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面所成二面角锐角的余弦值.
20.(12分)椭圆:的离心率为,点为椭圆上的一点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若斜率为的直线过点,且与椭圆交于两点,为椭圆的下顶点,求证:对于任意的实数,直线的斜率之积为定值.
21.(12分)已知矩阵,求矩阵的特征值及其相应的特征向量.
22.(10分)若,且
(1)求的最小值;
(2)是否存在,使得?并说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
先求出,再由,利用向量数量积等于0,从而求得.
【详解】
由题可知,
因为,所以有,得,
故选:C.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题,涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式,向量垂直的坐标表示,属于基础题目.
2、B
【解析】
根据二项式系数的性质,可求得,再通过赋值求得以及结果即可.
【详解】
因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的
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