2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第53讲圆锥曲线的综合应用_最值范围问题教师版.docVIP

第53讲圆锥曲线的综合应用——最值、范围问题

思维导图

知识梳理

1．几何转化代数法

若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决．

2．函数取值法

当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值(或值域)、常用方法有：(1)配方法；(2)基本不等式法；(3)单调性法；(4)三角换元法；(5)导数法等，要特别注意自变量的取值范围.

题型归纳

题型1构建目标不等式解最值或范围问题

【例1-1】已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(3),3)，且椭圆C过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(2),2))).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且与圆O：x2＋y2＝2相交于E，F两点，求|AB|·|EF|2的取值范围．

【解】(1)由题意得eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以a2＝eq\f(3,2)b2，

所以椭圆的方程为eq\f(x2,\f(3,2)b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，

将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(2),2)))代入方程得b2＝2，即a2＝3，

所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.

(2)由(1)可知，椭圆的右焦点为(1,0)，

①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝1，

则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(2\r(3),3)))，E(1,1)，F(1，－1)，

所以|AB|＝eq\f(4\r(3),3)，|EF|2＝4，|AB|·|EF|2＝eq\f(16\r(3),3).

②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，,y＝k?x－1?，))可得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，

则x1＋x2＝eq\f(6k2,2＋3k2)，x1x2＝eq\f(3k2－6,2＋3k2)，

所以|AB|＝eq\r(?1＋k2??x1－x2?2)＝

eq\r(?1＋k2?\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6k2,2＋3k2)))2－4×\f(3k2－6,2＋3k2))))＝eq\f(4\r(3)?k2＋1?,2＋3k2).

因为圆心O(0,0)到直线l的距离d＝eq\f(|k|,\r(k2＋1))，

所以|EF|2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(k2,k2＋1)))＝eq\f(4?k2＋2?,k2＋1)，

所以|AB|·|EF|2＝eq\f(4\r(3)?k2＋1?,2＋3k2)·eq\f(4?k2＋2?,k2＋1)

＝eq\f(16\r(3)?k2＋2?,2＋3k2)＝eq\f(16\r(3),3)·eq\f(k2＋2,k2＋\f(2,3))

＝eq\f(16\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\f(4,3),k2＋\f(2,3)))).

因为k2∈[0，＋∞)，所以|AB|·|EF|2∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(16\r(3),3)，16\r(3))).

综上，|AB|·|EF|2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(16\r(3),3)，16\r(3))).

【例1-2】设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1(a>eq\r(3))的右焦点为F，右顶点为A.已知|OA|－|OF|＝1，其中O为原点，e为椭圆的离心率．

(1)求椭圆的方程及离心率e的值；

(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．

[解](1)由题意可知|OF|＝c＝eq\r(a2－3)，

又|OA|－|OF|＝1，所以a－eq\r(a2－3)＝1，解得a＝2，所以椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，

离心率e＝eq\f(c,a)＝