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试验相关设计和相关设计准

则

v先从一个简单的试验开始：

生产集成电路的一个初始步骤是产生晶体外

延层。试验中有三个地方需要配置：

感应旋转方法、喷咀位置、沉积温度，每个

地方有两种配置方法。也即有三个因子，每

个因子两个水平。

试验人员希望找出最好的配置，使得产生的

外延层厚度尽可能接近15.4毫米。

v为此，试验人员在每一种可能的设置下（2的

3次方，共8种可能）做5次试验，共40次试验。

v上述试验叫做“完全因析试验”，我们可以用五

次试验距离目标值差距的平方和作为响应变

量，建立回归模型，并进行方差分析。

v模型方程是：

v上述参数叫做回归方程的系数，在试验设计

中，也叫因子的效应。

一般的分析方法：

v最小二乘估计

v回归分析中的变量筛选

v正态图、半正态图

vF检验效应是否显著

v根据显著的回归系数确定因子水平

v这个试验有三个因子，每个水平下重复5次，

共有40次试验。但在稍微复杂一点的试验中，

因子数往往有8-10个，甚至更多，那时即使

没有重复，试验次数也已经数百、上千，这

在很多情形下（如农业试验有很长的周期，

汽车、机械、核物理等试验则很费钱）是很

不好的。

v这时，流行的做法是选择一个“部分因析试验”。

v为了引出“部分因析设计”，我们先给前面提到的“效应”做一个严格的定义。

vA因子的主效应：

vA、B因子的交互效应：

vA、B、C的三阶交互效应：

v“+”是指一个水平，“-”是另一个。”AB+”是指”A+,B+”或”A-,B-”。

v通过与前面的回归模型相对比（回归模型中用最小二乘计算回归系数），

这里的效应与回归模型中的回归系数只相差一个倍数。

著名的效应三原则：

v效应排序原则；

⑴低阶效应比高阶效应更重要；

主效应>二阶效应>三阶效应>…

⑵同阶效应同样重要；

v效应稀疏原则；

在因析试验中相对重要的因子效应数目是不

多的。

v效应遗传原则；

要使一个交互效应是显著的，至少它的一个亲本因

子是显著的。

若AB交互效应显著，则A和B至少有一个是显著的。

v基于以上原则，设计界目前广泛使用的是部分因析

试验，以及用MA准则来判断试验是否优良。

v部分因析试验只是完全因析试验的一部分。

v考虑一个简单的试验(参见Box(1961),page5,

table3).

v我们来看这两个效应：123和4，显然有：

也即，这两个效应“别名”，在记号上有：4=123，或

I=1234（I是单位元），这也称作一个定义对照关系

也叫定义字。

v对一般的部分因析试验，可能有不只一个定义对照

关系，可以证明，所有的定义对照关系构成一个二

阶可交换群，叫做“定义对照子群”。

v一个设计，是说它的试验次数是，它有k个因

子，它的定义对照子群有个元素。

MA准则（最小低阶混杂）：

v对上面的那个定义字I=BCD，我们说它的字长度为4，因

为是一个4阶效应与单位效应别名。

v对一个设计，用记其定义对照子群中字长为i的字的个

数

v称为一个试验的字长型。

v一个MA设计就是顺次最小化字长型的设计。它所依据的道

理是效应排序原则，因为如果长度较短的定义字比较多

就意味着低阶效应别名状况比较严重。

v上面讲的都是两水平的情形，对于一般的素数水平，

理论是相似的。

v为了一般化，前面说的”+”和”-”要改为GF(2)中的0

和1，而一般的素数p水平，就是用GF(p)中的运算

法则。对于素数幂水平，运用GF()中的运算。

v但对于一般的数，因为没有对应的有限域，所以无

法构建相应的部分因析设计理论。

v我们做一个罗列：2，3，5，7（素数）；4，8，9

（素数幂），但6不行，而7水平以上的实际试验极

为罕见。

v试验设计大量的成果和论文就是用来寻找MA设计。

v参见Chen,Sun,andWu(1993)(page8~16).

v用计算机进行搜索在试验次数和因子数比较小的情