(52)--拉普拉斯变换信号与系统.pdf

内容简介

本讲内容属于教材中的5.1部分；

本讲的主要内容有从傅里叶变换到拉普拉斯变换；收敛

域；单边拉普拉斯变换；常见函数的拉普拉斯变换。

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重点和难点

重点：

拉普拉斯变换的定义，收敛域的概念

难点：

从傅里叶变换到拉普拉斯变换

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第五章连续系统的s域分析

jωt

频域分析以虚指数信号e为基本信号，任意信号可分解为众多不同

频率的虚指数分量之和,使响应的求解得到简化，物理意义清楚,但也有

不足：

（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t);

（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。

在这一章,把频域中的傅里叶变换推广到复频域，解决以上问题。

st

本章引入复频率s=σ+jω,以复指数函数e为基本信号，任意信号可

分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量

是复频率s，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。

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5.1拉普拉斯变换

•从傅里叶变换到拉普拉斯变换

•收敛域

•单边拉普拉斯变换

•常见函数的拉普拉斯变换

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一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换

有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换

困难，为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号

f(t)，适当选取的值，使乘积信号f(t)e-t当t∞时信

号幅度趋近于0，从而使f(t)e-t的傅里叶变换存在。

tjt(j)t

-tf(t)eedtf(t)edt

F(+j)=ℱ[f(t)e]=

b

相应的傅里叶逆变换为

1

f(t)etF(j)ejtd

2b

1

f(t)F(j)e(j)td令s=+j,d=ds/j，有

2b

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定义

双边拉普拉斯变换对

F(s)f(t)estdt

b

1

jst

f(t)F(s)eds

jb

2j

F(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数）；

b

f(t)称为F(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。

b

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二、收敛域

只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的

双边拉普拉斯变换存在。

使f(t)拉氏变换存在的取值范围称为F(s)的收敛域。

b

下面举例说明F(s)收敛域的问题。