(53)--5.1 .1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换.ppt

第*页■▲第*页■5.1.1从傅氏变换到拉氏变换频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。本章引入复频率s=σ+jω,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率s，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。傅里叶变换与拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-?t(?为实常数）乘信号f(t)，适当选取?的值，使乘积信号f(t)e-?t当t?∞时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-?t的傅里叶变换存在。相应的傅里叶逆变换为f(t)e-?t=Fb(?+j?)=?[f(t)e-?t]=令s=?+j?,d?=ds/j，有定义双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。二、收敛域只有选择适当的?值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。使f(t)拉氏变换存在?的取值范围称为Fb(s)的收敛域。下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。例1因果信号f1(t)=e?t?(t)，求拉氏变换。解可见，对于因果信号，仅当Re[s]=??时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。收敛域收敛边界例2反因果信号f2(t)=e?t?(-t)，求拉氏变换。解可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=??时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。例3双边信号求其拉普拉斯变换。求其拉普拉斯变换。解其双边拉普拉斯变换Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)仅当??时，其收敛域为?Re[s]?的一个带状区域，如图所示。例4求下列信号的双边拉普拉斯变换。f1(t)=e-3t?(t)+e-2t?(t)f2(t)=–e-3t?(–t)–e-2t?(–t)f3(t)=e-3t?(t)–e-2t?(–t)解Re[s]=?–2Re[s]=?–3–3?–2可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。第*页■▲第*页■