2024届河北省石家庄市十八中高三上学期1月联考数学试卷.docVIP

2024届河北省石家庄市十八中高三上学期1月联考数学试卷

一、单选题

1.设全集，集合，则（）

A．

B．

C．

D．

2.若复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点所在的象限为（）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

3.已知向量，则向量在向量上的投影向量为（）

A．

B．

C．

D．

4.设是等差数列的前项和，若，则（）

A．

B．

C．

D．

5.高斯是德国数学家?天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德?牛顿并列，同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数的最大整数，例如，该函数被广泛应用于数论?函数绘图和计算机领域.若函数，则当时，的值域为（）

A．

B．

C．

D．

6.已知正方体的棱长为为线段上的动点，则点到平面距离的最小值为（）

A．1

B．

C．

D．2

7.设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

8.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

9.下列结论中正确的有（）

A．数据第75百分位数为30

B．已知随机变量服从二项分布，若，则

C．已知回归直线方程为，若样本中心为，则

D．若变量和之间的样本相关系数为，则变量和之间的正相关性很小

10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（）

A．，函数的最小正周期为

B．

C．方程的解为、

D．

11.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点，则下列说法正确的有（）

A．当时，

B．

C．若直线的倾斜角分别为，则

D．若点关于轴的对称点为点，则直线必恒过定点

12.已知函数，若函数的图象与的图象有两个不同的交点，则实数的可能取值为（）

A．

B．

C．

D．

三、填空题

13.已知，则__________.

14.已知函数，且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为__________.

15.2023年9月23日，杭州第19届亚运会开幕，在之后举行的射击比赛中，6名志愿者被安排到安检?引导运动员入场?赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则共有种安排方案__________.（用数字作答）

16.如图所示，已知正方体的棱长为2，点在上，且，动点在正方形内运动（含边界），若，则当取得最小值时，三棱锥外接球的半径为__________.

四、解答题

17.已知数列满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

18.在中，角的平分线与边交于点，且满足.

(1)若，求角；

(2)若，求证：.

19.如图1，已知正三角形边长为4，其中，现沿着翻折，将点翻折到点处，使得平面平面为中点，如图2.

(1)求异面直线与所成角的余弦值；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

20.已知函数为常数，过曲线上一点处的切线与轴垂直.

(1)求的值及的单调递增区间；

(2)若对任意的，使得（是自然对数的底数）恒成立，求实数的取值范围.

21.已知椭圆的左?右焦点分别为，左?右顶点分别为，若以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，3为半径的圆相交于两点，若椭圆经过两点，且直线的斜率之积为.

(1)求椭圆的方程；

(2)点是直线上一动点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为.

①求证直线恒过定点，并求出此定点；

②求面积的最小值.

22.在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵?信源熵?平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件?样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.