2024届河南省部分重点高中高三普通高等学校招生全国统一考试（期末联考）数学试卷.docVIP

2024届河南省部分重点高中高三普通高等学校招生全国统一考试（期末联考）数学试卷

一、单选题

1.已知集合，，则的真子集个数为（）

A．2

B．3

C．4

D．7

2.已知i为虚数单位，复数满足，则（）

A．

B．1

C．

D．2

3.已知单位向量，的夹角为，则（）

A．9

B．

C．10

D．

4.据科学研究表明，某种玫瑰花新鲜程度y与其花朵凋零时间t（分钟）（在植物学上t表示从花朵完全绽放时刻开始到完全凋零时刻为止所需的时间）近似满足函数关系式：（b为常数），若该种玫瑰花在凋零时间为10分钟时的新鲜程度为，则当该种玫瑰花新鲜程度为时，其凋零时间约为（参考数据：）（）

A．3分钟

B．30分钟

C．33分钟

D．35分钟

5.已知某圆台的体积为，其上、下底面圆的面积之比为且周长之和为，则该圆台的高为（）

A．6

B．7

C．8

D．9

6.已知抛物线，过点且斜率为的直线l交C于M，N两点，且，则C的准线方程为（）

A．

B．

C．

D．

7.已知数列是单调递增数列，，，则实数的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

8.已知离散型随机变量X的分布列如下，则的最大值为（）

X

0

1

2

P

a

A．

B．

C．

D．1

二、多选题

9.某高中从本校的三个年级中随机调查了五名同学关于生命科学科普知识的掌握情况，五名同学的成绩如下：84，72，68，76，80，则（）

A．这五名同学成绩的平均数为78

B．这五名同学成绩的中位数为74

C．这五名同学成绩的上四分位数为80

D．这五名同学成绩的方差为32

10.已知正实数a，b满足，则的可能取值为（）

A．2

B．

C．

D．4

11.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，，点M的轨迹为，则（）

A．为中心对称图形

B．M到直线距离的最大值为5

C．若线段上的所有点均在中，则最大为

D．使成立的M点有4个

三、填空题

12.的展开式中含的项的系数为______．

13.已知，则______．

14.三个相似的圆锥的体积分别为，，，侧面积分别为，，，且，，则实数的最大值为______．

四、解答题

15.已知函数．

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若，研究函数在上的单调性和零点个数．

16.2024年由教育部及各省教育厅组织的九省联考于1月19日开考，全程模拟高考及考后的志愿填报等．某高中分别随机调研了名男同学和名女同学对计算机专业感兴趣的情况，得到如下列联表．

对计算机专业感兴趣

对计算机专业不感兴趣

合计

男同学

女同学

合计

(1)完善以上的列联表，并判断根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关；

(2)将样本的频率作为概率，现从全校的学生中随机抽取名学生，求其中对计算机专业感兴趣的学生人数的期望和方差．

附：，其中．

17.如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为等腰梯形，且，为等边三角形，平面平面直线．

(1)证明：平面；

(2)若与平面的夹角为，求四棱锥的体积．

18.已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，且，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若E，F为椭圆C上异于A，B的两个不同动点，且直线与的斜率满足，证明：直线恒过定点．

19.三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：．若，则称为空间向量与的叉乘，其中（），（），为单位正交基底．以O为坐标原点、分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A，B是空间直角坐标系中异于O的不同两点．

(1)①若，，求；

②证明：．

(2)记的面积为，证明：．

(3)证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的6倍．