专题05 概率与数列、导数交汇问题 (典型题型归类训练) （解析版）.docx

专题05概率与数列、导数交汇问题(典型题型归类训练)

题型一：概率与数列

1．（2023·全国·统考模拟预测）遗传学在培育作物新品种中有着重要的应用．已知某种农作物植株有，，三种基因型，根据遗传学定律可知，个体自交产生的子代全部为个体，个体自交产生的子代全部为个体，个体自交产生的子代中，，，，个体均有，且其数量比为．假设每个植株自交产生的子代数量相等，且所有个体均能正常存活．

(1)现取个数比为的，，植株个体进行自交，从其子代所有植株中任选一株，已知该植株的基因型为，求该植株是由个体自交得到的概率；

(2)已知基因型为AA的植株具备某种优良性状且能保持该优良性状的稳定遗传，是理想的作物新品种．农科院研究人员为了获得更多的植株用于农业生产，将通过诱变育种获得的Aa植株进行第一次自交，根据植株表现型的差异将其子代中的个体人工淘汰掉后，再将剩余子代植株全部进行第二次自交，再将第二次自交后代中的个体人工淘汰掉后，再将剩余子代植株全部进行第三次自交……此类推，不断地重复此操作，从第次自交产生的子代中任选一植株，该植株的基因型恰为AA的概率记为（且）

①证明：数列为等比数列；

②求，并根据的值解释该育种方案的可行性．

【答案】(1)

(2)①证明见解析；②证明见解析

【分析】（1）分析遗传特性，求概率即可.

（2）①找到易求的，再利用递推关系求解即可.②发现当实验次数够多时，概率趋近于1即可.

【详解】（1）由题意得若对植株进行自交，产生，，的概率比为，

故在个数比为的，，植株个体进行自交时，

其亲代，，的概率比为，

而亲代进行自交，产生，，的概率比为，

故概率为，

（2）①记第代的概率为，

子一代进行自交时，

子二代进行自交时，

故可递推出，易得，

而令，而，则有，

故数列为等比数列得证.

②由上问知，且当时，，故该方案可行.

2．（2024上·山东威海·高三统考期末）甲、乙、丙人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余人之一，设表示经过次传递后球传到乙手中的概率.

(1)求，；

(2)证明：是等比数列，并求；

(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第次到第次传球）中球传到乙手中的次数为，求．

【答案】(1)，

(2)证明见解析，

(3)

【分析】（1）分析已知计算即可得出结果；

（2）记表示事件“经过次传递后球传到乙手中”，若发生，则一定不发生，则，变形可得，即数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可；

（3）结合第（2）问结论和题设条件，运用等比数列求和公式分组求和即可求解.

【详解】（1）因为表示经过次传递后球传到乙手中的概率，

所以，第一次传到乙手中的概率为：，

第二次传到乙手中的概率为：.

（2）记表示事件“经过次传递后球传到乙手中”，

若发生，则一定不发生，

所以，即，

即，又，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以，即.

（3）由题意，次传球后球在乙手中的次数，服从两点分布，且,所以

由（2）可知，，

则.

3．（2024上·山东淄博·高三统考期末）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，根据以往甲、乙两名运动员对阵的比赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为，乙得分的概率为；若乙发球，乙得分的概率为，甲得分的概率为．规定第1回合是甲先发球．

(1)求第3回合由甲发球的概率；

(2)①设第i回合是甲发球的概率为，证明：是等比数列；

②已知：若随机变量服从两点分布，且，，2，…，n，则．若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的总得分的期望．

【答案】(1)

(2)①证明见解析；②

【分析】（1）通过设出事件，结合事件独立的概率乘法公式计算即可；

（2）①通过题意得到，进而构造等比数列进行证明即可；

②根据题意得到记第回合甲得分为，显然服从两点分布，结合题目中的期望公式计算即可.

【详解】（1）设“第3回合由甲发球”为事件，

则，

所以第3回合由甲发球的概率为

（2）①第回合是甲发球分两种情况：

第一种情况为第回合是甲发球且甲得分，

第二种情况为第回合是乙发球且甲得分，

则，

即，所以，

又因为，所以，

所以，

即是首项为，公比为的等比数列

②因为是首项为，公比为的等比数列，

所以，即，

记第回合甲得分为，显然服从两点分布，

且事件等价于第回合是甲发球，故，

又因为求甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的得分为，

所以

，

故甲的总得分的期望为

【点睛】关键点点睛：本题考查数列与概率的综合问题.关