上海市徐汇区2023-2024学年高一上学期学习能力诊断卷（期末）数学试卷（教师版）.docx

2023学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷

高一数学试卷

考生注意：

1.本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分120分.

2.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息.

3.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分.

一、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分）考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.

1.已知集合，，则_______________.

【答案】

【解析】

【分析】求解出一元二次不等式的解集为集合，然后根据交集运算求解出结果.

【详解】因为，所以，所以，

因为，所以，

故答案为：.

2.不等式的解集为________．

【答案】

【解析】

【分析】由题设可得，利用分式不等式的解法求解即可.

【详解】由题设，，

∴，解得，

∴解集为.

故答案为：

3.若，则_______________.

【答案】

【解析】

【分析】根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确运算，即可求解.

【详解】由对数的运算性质，可得，

可得，所以.

故答案为：.

4.函数的零点，对区间利用一次“二分法”，可确定所在的区间为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据二分法的定义求解.

【详解】设，则，

取区间的中点为，，

所以可确定所在的区间为，

故答案为:.

5.函数（且的图像过定点_______________.

【答案】

【解析】

【分析】由指数函数的性质可得.

【详解】当时，，

故图像过定点，

故答案为：.

6.某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长，若要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，则至少需要经过___________年（结果精确到整数）.

【答案】12

【解析】

【分析】由于林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长10%，那么假设该林区当前的木材蓄积量为1，则经过x年的木材蓄积量为，依题意：可令，解不等式，再计算取精确值即可.

【详解】假设该林区当前的木材蓄积量为1，则经过x年的木材蓄积量为．

由于要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍则可得，得．

因为，所以，故至少需要经过12年．

故答案为：12.

7.用函数观点解不等式，该不等式的解集为_______________.

【答案】

【解析】

【分析】由不等式可得，令函数再根据函数单调性即可求解.

【详解】由不等式，得，

令函数，定义域为，

因为，均为定义域内的增函数，

所以在定义域内单调递增，且，

对应不等式即为，从而得，

所以不等式的解集为.

故答案：.

8.若是奇函数，当时，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题设条件，利用，即可求解.

【详解】由题意，函数是奇函数，当时，

所以.

故答案为：.

9.设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为__________.

【答案】

【解析】

【分析】由函数的定义域可求得实数的值，可得出函数的解析式，求出的值，然后利用指数函数的单调性可解不等式，即可得其解集.

【详解】若，对任意的，，则函数的定义域为，不合乎题意，

所以，，由可得，

因为函数的定义域为，所以，，解得，

所以，，则，

由可得，解得.

因此，不等式的解集为.

故答案为：.

10.已知函数，的最大值为3，最小值为2，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】画出函数的图像，对称轴为，函数在对称轴的位置取得最小值2，令，可求得，或，进而得到参数范围.

【详解】

函数的图象是开口朝上，且以直线为对称的抛物线，

当时，函数取最小值2，

令，则，或，

若函数在上的最大值为3，最小值为2，

则，

故答案为：.

11.已知问题：“恒成立，求实数的取值范围”.两位同学对此问题展开讨论：小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题.请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数的取值范围___________．

【答案】

【解析】

【分析】根据三角不等式求出最小值即可得解.

【详解】根据三角不等式，

所以恒成立，只需，

所以或

解得.

故答案为：

12.已知函数，其中.若关于x的方程恰有四个不同的实数根，则该方程所有实数根之和的取值范围是_______________.

【答案】

【解析】

【分析】令，画出图像如图所示，利用数形结合思想，结合二次函数的对称性，对数函数的运算和性质，对勾函数的单调性求解.

【详解】，画出图像如图所示.

方程等价于，方程有4个不同的实数根，即函数的图象与水平直线有4个不同的交点，故.

设四个交点的横坐标从左到右依次为，如图所示，可知，，

结合,