高中数学：教学设计 (16).docx

基础教育精品课

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高一

学期

秋季

课题

同角三角函数的基本关系

教科书

书名：普通高中教科书必修第一册

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年06月

教学目标

知识与技能：利用同角三角函数关系式化简三角函数式；掌握恒等式证明的一般方法.

过程与方法：让学生牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；

情感、态度与价值观：灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；

教学内容

教学重点：公式及的推导及运用

教学难点：根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.

教学过程

教学过程：

一．知识回顾

思考1：请同学们回忆一下三角函数是如何来定义的？

思考2：我们从单位圆的定义出发，可发现同一个角的不同三角函数之间有什么关系呢？

思考3：观察三角函数的定义，可知之间有什么关系呢？

二．知识形成

（一）同角三角函数的基本关系

同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.

1.平方关系：；

2.商关系：

注：QUOTEsin2α是QUOTE(sinα)2(sinα)2的简写读作QUOTEsinα?的平方，sinα?的平方，不能将写成

（二）同角三角函数的基本关系的变形

1.的变形

（1），（2）

（2），

所以，，可通过上述变形公式“知一求二”

2.的变形公式

（1）；.

（2）；

思考：变形公式1中不可直接由求，怎样就可以直接求出来呢？从出发，要式中出现，只需等式两边同时除以，则，化简可得变形公式2中的第一个式子，同样平方关系两边同时除以，则，化简可得变形公式2中的第二个式子。

三.理论迁移

题型一利用同角三角函数的关系式求值

例1已知,求的值.

变式1已知,求的值.

思考：除了这个解方程组的方法，还有没有其他方法可直接求呢？

可利用上述两个公式的变形公式

注：此题用了方程的思想和分类讨论的思想

变式2已知sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，且0＜α＜π.求：(1)sinαcosα的值；(2)求sinα－cosα的值．QUOTEcos2α=1-sin2α=1--3

分析：联系sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα的公式：

但求sinα－cosα需要开方，要讨论sinα－cosα的正负，一般根据sinαcosα的符号，可缩小α的取值范围

小结：（1）同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sinα，cosα，tanα三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.

（2）若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.

(3)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的等价转化，找到解决问题的突破口.

题型二齐次式求值的问题

齐次式：每个单项式的次数都相等的式子

例2已知tanα＝2，求下列代数式的值

(1)eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα)；(2)eq\f(1,4)sin2α＋eq\f(1,3)sinαcosα＋eq\f(1,2)cos2α.

分析：紧扣题目条件，将（1）式中的sinα、cosα全部转化成tanα，则由商关系sinα除以cosα，可得tanα,而cosα除以cosα等于1，又分式分子分母除以同一个数分式保持不变，所以(1)中分子分母同除以cosα即为弦化切的方法

（2）式是一个二次齐次式，要将式中的弦化切需要除以，而除以正好等于，可是式子不可随意除以，要使得式子的值不变，如果是分式则可分子分母同时除，而这个式子可视为分母为1的分式，然后分子是2次式，分母可否也变成的二次式呢，利用平方关系中“1”的代换即可

变式已知sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，α∈(0，π)，则tanα＝.

法二：（构建方程组法）∵sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\f(49,169)，即2sinαcosα＝－eq\f(120,169)0，

又α∈(0，π)，则sinα0，cosα0，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，

故sinα－cosα＝eq\r(?sinα＋cosα?2－4sinαcosα)＝eq\f(17,13)，可得sin