微考点2-4 导数与三角函数结合问题的研究（原卷版）.docx

微考点2-4导数与三角函数结合问题的研究

有关导数与三角函数交汇的试题在高考与模拟试题中频频出现.在函数与导数试题中加入三角函数,由于三角函数具有周期性,无法通过多次求导使三角函数消失,使得后续问题的处理比较困难,从而造成学生思维上的难度.我们可从以下几个角度来突破此类问题的难点.

1.分段讨论

①以为端点分区间讨论;②以三角函数的最值点为端点分段讨论.

2.巧用放缩,消去三角函数

①正弦函数:当时,.②余弦函数:.

③正切函数:当时,.④数值域:.

3.分离函数:将含有三角函数的式子放到一起.

4.分离参数:转化为函数值域问题.

5.半分离参数:将不等式等价转化,化为左右两边函数是一直线与一曲线,考虑端点处的切线斜率.

【精选例题】

【例1】已知函数，，是的导数.

(1)讨论的单调性，并证明：；

(2)若函数在区间内有唯一的零点，求a的取值范围.

【例2】已知函数,其中为实数,是自然对数的底数.

(1)若,证明:;

(2)若在上有唯一的极值点,求实数的取值范围.

【例3】已知函数，.

(1)求证：；

(2)若，问是否恒成立?若恒成立，求a的取值范围；若不恒成立，请说明理由

【例4】已知函数．

(1)讨论在上的单调性；

(2)当时，恒成立，求a的取值范围．

【例5】已知函数，其中.

(1)若在上恒成立，求的取值范围；

(2)证明：，有.

【例6】已知函数.

(1)若，判断在上的单调性；

(2)设函数，若关于的方程有唯一的实根，求a的取值范围.

【例7】已知函数，．

(1)求证：当，；

(2)若，恒成立，求实数的取值范围．

【例8】已知函数．

(1)若，求证：；

(2)当时，对任意，都有，求整数的最大值．

【例9】已知函数．

(1)若有两个极值点，求的取值范围；

(2)若，，求的取值范围．

【例10】已知函数为其极小值点．

(1)求实数的值；

(2)若存在，使得，求证：．

【例11】（2023全国新高考2卷）（1）证明：当时，；

（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．

【跟踪训练】

1.已知函数，e是自然对数的底数，若恰为的极值点.

(1)求实数a的值；

(2)求在区间上零点的个数.

2.已知函数．

(1)判断函数在区间上零点和极值点的个数，并给出证明；

(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

3.已知函数，且恒成立.

(1)求的值；

(2)证明：.

（注：其中为自然对数的底数）

4.已知函数，.

(1)设，求函数的极大值点；

(2)若对，不等式恒成立，求m的取值范围.

5.已知函数．

(1)当时，

（I）求处的切线方程；（II）判断的单调性，并给出证明；

(2)若恒成立，求的取值范围．

6.已知.

(1)当时，求在内的单调区间；

(2)若对任意的时，恒成立，求实数的取值范围.

7.已知函数，其中为自然对数的底数．

(1)当时，证明：;

(2)当时，求函数零点个数．

8.已知函数.

(1)若，求的极值；

(2)若，，求的取值范围.

9.已知函数．

(1)证明：函数有唯一的极值点，及唯一的零点；

(2)对于（1）问中，，比较与的大小，并证明你的结论．

10.已知函数．

(1)若在上单调递增，求a的取值范围；

(2)若函数在上存在零点，求a的取值范围．

11.已知函数.

(1)求函数在区间上的最小值；

(2)判断函数的零点个数，并证明.

12.已知函数.

(1)当时，证明：.

(2)讨论的单调性.

13.（1）证明：当时，；

（2）是否存在正数，使得在上单调递增，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.