微考点2-2 2024新高考新试卷结构二轮复习利用导数研究恒成立能成立整数点问题（解析版）.docx

微考点2-22024新高考新试卷结构二轮复习利用导数研究

恒成立能成立整数点问题

考点一：利用导数研究函数恒成立问题

【精选例题】

【例1】已知函数，若对任意恒成立，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求函数的导函数，利用导数求得函数的最小值，由最小值大于0，即得．

【详解】因为

所以，

当时，，函数在上为减函数，

又当时，，不满足在定义域内恒成立；

当时，由，解得，

当时，，当时，，

所以当时，函数为减函数，当时，函数为增函数，

所以=＝

由，得，即，

所以k的取值范围是.

故选：D．

【例2】已知函数，若恒成立，则的最小值是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：由题意得：，当时，，函数在上单调递增，无最大值，不符合题意；当时，令，解得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以.令，则，所以，设，则，若，即，则，此时单调递减，符合题意；若，由，得，此时，解得，所以的最小值为.故选：B

【例3】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：由题可知，时，不等式恒成立，当时，得，

令，则，，令，，则，显然在上，，所以单调递减，，因此；当时，得，令，则，，令，，

则，显然在上，，所以单调递减，，因此；由以上两种情况得：.显然当时，得恒成立，综上得：实数的取值范围为.故选：C.

【例4】若恒成立，则的取值范围是（????）

A．B．C．D．

【答案】C

【详解】当时，，则，不符合题意；当时，，恒成立，即恒成立，设，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.故当时，取得最大值，

所以，解得，故选：C．

【例5】若存在实数使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】不等式成立，即，即，

其几何意义表示点与的距离的平方不超过，即最大值为．∵为直线：即上一点，∴设与平行，且与相切于点，∴，由导数的几何意义，在点处切线的斜率，∴解得，∴，∴直线：上的点与曲线的距离的最小值即点到直线的距离，∴当且仅当时，，∴解得，综上所述，的取值集合为．故选：A．

【例6】若存在实数，使不等式对一切正数都成立（其中为自然对数的底数），则实数的最大值是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】存在实数，使不等式对一切正数都成立，要求的最大值，临界条件即为直线恰为函数的公切线.设的切点为，.设的切点为，,所以.

由题得.设，所以，所以函数在上单调递减，在单调递增.

又，当时，，所以方程另外一个零点一定大于.所以方程小的零点为，所以.故选：C

【例7】已知关于不等式对任意和正数恒成立，则的最小值为（????）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【详解】设，，若，对任意和正数恒成立，则，对任意和正数恒成立，如图，时，，对任意和正数不恒成立；如图，时，，则，

设，解得，且，∴当的切线斜率为1时，切点坐标为，由直线的点斜式方程可得切线方程为，即，

若，对任意和正数恒成立，则

∴∴，设，，，

∴，，，∴，∴故选：B.

【跟踪训练】

1.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】恒成立，则，只需

设，

当，；当，；所以，，，故选：B

2.已知不等式恒成立，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】令，则，，故可知在上，在上，在上，又不等式恒成立，.故选：B

3．已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】令，则，由题意可知：对任意恒成立，且，可得，解得，若，令，则，则在上递增，可得，即对任意恒成立，则在上递增，可得，综上所述：符合题意，即实数的取值范围为.故选：A.

4．若恒成立，则实数的最大值为（????）

A． B．2 C．1 D．

【答案】D

【详解】当时，，不等式成立；当时，恒成立，即，令，则，因为时，（后证）

所以当时，，单调递减，当时，，单调递减，故，所以，即实数的最大值为.证明当时，，

令，，则，则在上单调递增，所以，即.故选：D.

5．若对任意正实数都有，则实数的取值范围为（????）

A．B．C．D．

【答案】A

【详解】化简不等式可得，即：，令（），则对任意的，，所以，设，，则，令，所以，所以在上单调递减，又因为，所以，，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，解得：，即：的取值范围为.故选：A.

6．已知函数，若恒成立，则实数a的最大值为（????）

A． B． C