微考点2-5 2024新高考新试卷结构19题压轴题新定义导数试题分类汇编（解析版）.docx

微考点2-52024新高考新试卷结构19题压轴题新定义

导数试题分类汇编

【精选例题】

【例1】悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数．

(1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；

(2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围；

(3)求的最小值．

【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)0

【详解】（1）平方关系：；和角公式：；导数：．

理由如下：平方关系，；，和角公式：

，故；

导数：，；

（2）构造函数，，由（1）可知，i．当时，由可知，故，故单调递增，此时，故对任意，恒成立，满足题意；

ii．当时，令，，则，可知单调递增，由与可知，存在唯一，使得，故当时，，则在内单调递减，故对任意，，即，矛盾；综上所述，实数a的取值范围为．

（3），，令，则，令，则，当时，由（2）可知，，则，令，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，因为，即为偶函数，故在内单调递减，

则，故当且仅当时，取得最小值0.

【例2】已知为实数，．对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“正向数组”．

(1)若，判断是否为的“正向数组”，并说明理由；

(2)证明：若为的“正向数组”，则对任意，都有；

(3)已知对任意，都是的“正向数组”，求的取值范围．

【答案】(1)不是的“正向数组”；(2)证明见解析；(3)的取值范围是.

【详解】（1）若，，对，即，而当，时，

，，即，不满足题意.

所以不是的“正向数组”.

（2）反证法:假设存在,使得,为的“正向数组”，对任意,都有.对任意恒成立.令，则在上恒成立，，设，

，则当时，在上为负，在上为正，

所以在上单调递减，在上单调递增；若，当，，当，，即存在，使在上为正，在上为负，在上为正，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又当，，当，，则的值域为；若，，在上单调递增，又当，，当，，则的值域为.当时，，在上单调递增，又当，，当，，

必存在，使在上为负，在上为正，所以在上单调递减，在上单调递增，又当，，当，，则的值域为.由值域可看出，与在上恒成立矛盾.对任意，都有.

（3）都是的“正向数组”，对任意，，都有

，则恒成立或恒成立，

即恒成立或恒成立，设，则，即是的最大值或最小值.，且.当时，由（2）可得，的值域为，无最大值或最小值；当时，在上单调递增，又，则在上为负，在上为正，所以在上单调递减，在上单调递增，则是的最小值，满足，

此时对任意，，都有.

的取值范围是.

【例3】帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：

(1)求实数，的值；

(2)求证：；

(3)求不等式的解集，其中．

【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3)

【详解】（1）因为，所以，，，则，，由题意知，，，所以，解得，.

（2）由（1）知，即证，令，则且，即证时，

记，，则，所以在上单调递增，在上单调递增，当时，即，即成立，当时，即，即成立，综上可得时，

所以成立，即成立.

（3）由题意知，欲使得不等式成立，则至少有，即或，首先考虑，该不等式等价于，即，又由（2）知成立，

所以使得成立的的取值范围是，再考虑，该不等式等价于，记，，则，所以当时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，，所以，，当时由，可知成立，当时由，可知不成立，所以使得成立的的取值范围是，综上可得不等式的解集为.

【例4】在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）

(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；

(2)求椭圆在处的曲率；

(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．

【答案】(1)1；(2)；(3)

【详解】（1）．

（2），，，故，，故．

（3），，故，其中，令，，则，则，其中（不妨），令，在递减，在递增，故；令，，令，则，当时，恒成立，故在上单调递增，

可得，即，故有，则