专题7 双曲线与抛物线（分层练）（解析版）.docx

专题验收评价

专题7双曲线、抛物线

内容概览

A·常考题不丢分

题型一双曲线基本性质（离心率，直线与双曲线的关系）

题型二抛物线的基本性质（焦点准线，直线与抛物线关系）

题型三双曲线抛物线有关定值定点问题

题型四双曲线抛物线有关面积问题

题型五双曲线抛物线综合问题应用

C·挑战真题争满分

题型一

题型一

双曲线基本性质（离心率，直线与双曲线的关系）

一、单选题

1．（2024上·山西运城·高三统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，A为C的右顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（???）

A． B． C． D．3

【答案】C【详解】由题意得，以为直径的圆的方程为，，

渐近线方程为，联立，解得，

不妨令，故，

因为，所以，所以，解得，

故离心率.

??故选：C

2．（2024·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的渐近线方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为，所以∽．

设，则，设，则，．

因为平分，由角平分线定理可知，，

所以，所以．由双曲线定义知，即，解得．

又由，得，所以，即是等腰三角形．

由余弦定理知，

即，化简得，所以，

则双曲线的渐近线方程为．

??故选：D

3．（2024·陕西·校联考一模）已知双曲线的一条渐近线l与椭圆交于A，B两点，若，（是椭圆的两个焦点），则E的离心率为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意求出双曲线的渐近线，则可得，由已知条件可得四边形为矩形，则，，再根据椭圆的定义列方程化简可求出离心率.

【详解】由已知，则双曲线的一条渐近线，即，

又，即，且四边形为矩形，

所以，则，

又根据椭圆定义可知，

所以离心率．

故选：A

二、多选题

4．（2024上·云南德宏·高三统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过原点的直线与双曲线交于A、B两点.若四边形为矩形，且，则下列正确的是（????）

A． B．双曲线的离心率为

C．矩形的面积为 D．双曲线的渐近线方程为

【答案】AB

【分析】根据矩形和双曲线的对称性，结合双曲线的定义、离心率公式、渐近线方程逐一判断即可.

【详解】如下图所示：设，所以，

由双曲线的定义可知，

因为四边形为矩形，所以，

因此，所以选项A正确；

由，所以选项B正确；

矩形的面积为，所以选项C不正确；

因为，

所以双曲线的渐近线方程为，因此选项D不正确，

故选：AB

??

二、填空题

5．（2024上·云南保山·高三统考期末）已知双曲线：，是坐标原点，，分别是的左、右焦点，点是上任意一点，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为，则的长为；过作角平分线的垂线，垂足为，则的长为.

【答案】

【详解】由题意知双曲线C的一条渐近线为，的坐标为，

所以点到渐近线的距离.

如图，延长，两直线交于点，由，且是的角平分线，

??

所以是等腰三角形，且，，

又有为的中位线，所以.

故答案为：；

题型二

题型二

抛物线的基本性质（焦点准线，直线与抛物线关系）

一、单选题

1．（2024上·湖南衡阳·高三统考期末）已知是抛物线上的两点，为的焦点，，点到轴的距离为，则的最小值为（????）

A．9 B．10 C． D．

【答案】A

【详解】因为抛物线的准线方程为，

所以，

因为，

所以，

当且仅当在线段上时，等号成立，所以的最小值为9，

故选：A

2．（2024·陕西榆林·统考一模）如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在该抛物线上，点在轴上，若，则（????）

A． B． C． D．3

【答案】D

【详解】设,，由，根据抛物线定义可得，

故，

，

过，分别作轴的垂线，过作轴的垂线，垂足为，明显，

所以.故选：D

二、多选题

3．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）如图，已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线（直线的倾斜角为锐角）与抛物线相交于两点（A在轴的上方，在轴的下方），过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则（????）

A．当直线的斜率为1时， B．若，则直线的斜率为2

C．存在直线使得 D．若，则直线的倾斜角为

【答案】AD

【分析】根据抛物线的焦点弦的性质一一计算即可.

【详解】易知，可设，设，

与抛物线方程联立得，

则，

对于A项，当直线的斜率为1时，此时，

由抛物线定义可知，故A正确；

易知是直角三角形，若，

则，

又，所以为等边三角形，即，此时，故B错误；

由上可知，

即，故C错误；

若，

又知，所以，

则