专题9 计数原理与随机变量及分布列（解析版）.docx

专题9计数原理与随机变量及分布列

01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）

02考情分析·解密高考

03高频考点·以考定法（三大命题方向+四道高考预测试题，高考必考15-20分）

命题点1排列组合

命题点2独立性实验与条件概率

命题点3随机变量分布列综合应用

04创新好题·分层训练（精选10道最新名校模拟试题+10道综合提升）

1.排列组合常见题型：

?“在位”与“不在位”

①某（特）元必在某位有种；②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

①定位紧贴：个元在固定位的排列有种.

②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.

（3）两组元素各相同的插空个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

当时，无解；当时，有种排法.

（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.

?.分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.

（2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有

.

（3）(非平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，，…，件，且，，…，这个数彼此不相等，则其分配方法数共有.

（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，，…，件，且，，…，这个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有.

（5）(非平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，，…，件无记号的堆，且，，…，这个数彼此不相等，则其分配方法数有.

（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，，…，件无记号的堆，且，，…，这个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有.

（7）(限定分组有归属问题)将相异的（）个物体分给甲、乙、丙，……等个人，物体必须被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，…时，则无论，，…，等个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有.

2.常见随机事件及随机变量分布

（1）.等可能性事件的概率.

（2）.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

（3）.个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

（4）.独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)=P(A)·P(B).

（5）.n个独立事件同时发生的概率P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．

（6）.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

（7）.离散型随机变量的分布列的两个性质

1）;

2）.

数学期望

（8）.数学期望的性质

1）.2）若～,则.

3）若服从几何分布,且，则.

（9）.方差公式：

（10）.标准差=.

（11）.方差的性质

1)；

2）若～，则.

3)若服从几何分布,且，则

（12）.方差与期望的关系.

（13）.正态分布密度函数，式中的实数μ，（0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.

（14）.标准正态分布密度函数.

（15）.对于，取值小于x的概率.

.

计数原理与随机变量及分布列是高考中必考点，随着新高考结构改革，随机变量分布列作为解答题将成为一种趋势，综合几年的高考试卷及九省联考试卷来看，2024年高考试卷中计数原理将作为小题考查，分布列以及条件概率将成为一个热点。

考点

考向

考题

计数原理与随机变量及分布列

①排列组合

②独立性试验与条件概率

③随机变量分布列综合应用

2023新高考全国ⅠT13全国ⅡT3乙卷T7甲卷T9

2022全国Ⅱ卷T5

2021全国乙卷T6ⅠT9ⅡT9

2023ⅡT12ⅠT21甲卷T6

2022全国乙卷T10新高考Ⅰ卷T20全国ⅡT19

2021ⅠT8

2023ⅠT21

2022乙卷T19

2021ⅠT18ⅡT21

命题点1排列组合

典例01（2023·全国·甲卷）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（????）

A．120 B．60 C．30 D．20

【答案】B

【详解】不妨记五名志愿者为，

假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，

同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，

所以恰有1人连续参加