离散数学第4章(屈)学案.ppt

第4章 关系 4.1 关系的定义及其表示 4.2 关系运算 4.3 关系的性质 4.4 等价关系与偏序关系 4.1 关系的定义及其表示 4.1.1 有序对与笛卡儿积 4.1.2 二元关系的定义 4.1.3 二元关系的表示 有序对 定义4.1 由两个元素，如x和y，按照一定的顺序 组成的二元组称为有序对，记作 <x,y> 实例：点的直角坐标 (3,?4) 有序对的性质 有序性 <x,y>?<y,x> （当x? y时） <x,y>与<u,v>相等的充分必要条件是 <x,y>=<u,v> ? x=u ? y=v 例1 <2,x+5>=<3y?4,y>，求 x, y. 解 3y?4=2, x+5=y ? y=2, x= ?3 笛卡儿积 笛卡儿积的性质 有序 n 元组和 n 阶笛卡尔积 二元关系的定义 实例 例3 (1) R={<x,y> | x,y?N, x+y<3} ={<0,0>, <0,1>, <0,2>, <1,0>, <1,1>, <2,0>} (2) C={<x,y> | x,y?R, x2+y2=1}，其中R代表实数集合， C是直角坐标平面上点的横、纵坐标之间的关系， C中的所有的点恰好构成坐标平面上的单位圆. (3) R={<x,y,z> | x,y,z?R, x+2y+z=3}， R代表了空间直角坐标系中的一个平面. 5元关系的实例—数据库实体模型 从A到B的关系与A上的关系 A上重要关系的实例 A上重要关系的实例（续） 矩阵的定义 矩阵的乘法 矩阵的乘法 关系的表示 实例 4.2 关系运算 4.2.1 关系的基本运算 定义域、值域、域、逆、合成 基本运算的性质 4.2.2 关系的幂运算 幂运算的定义 幂运算的方法 幂运算的性质 关系的基本运算 关系的基本运算（续） 合成运算的图示方法 基本运算的性质 基本运算的性质（续） 基本运算的性质（续） 基本运算的性质（续） 定理4.3 设 R 为 A上的关系, 则  R°IA= IA°R = R 证明任取<x, y> <x, y>∈R°IA ? ?t (<x, t>∈R∧<t, y>∈IA) ? ?t (<x, t>∈R∧t=y∧y∈A) ? <x, y>∈R 从而有R°IA=R. 同理可证 IA°R=R. A上关系的幂运算定义 幂运算的方法 幂运算的方法（续） 幂运算的方法（续） 幂运算的性质 幂运算的性质（续） 幂运算的性质（续） 幂运算的性质（续） 定理4.6 设R 是A上的关系, 若存在自然数 s, t (s<t) 使得 Rs = Rt, 则 (1) 对任何 k∈N 有 Rs+k = Rt+k (2) 对任何 k, i∈N 有Rs+kp+i = Rs+i, 其中p = t?s (3) 令S={R0,R1, …, Rt?1}, 则对于任意的 q∈N有 Rq∈S 证明 (1) Rs+k = Rs°Rk = Rt°Rk = Rt+k （2）对 k 归纳. 若k=0, 则有 Rs+0p+i = Rs+i 假设 Rs+kp+i = Rs+i, 其中p = t?s, 则 Rs+(k+1)p+i = Rs+kp+i+p = Rs+kp+i°Rp = Rs+i°Rp = Rs+p+i = Rs+t?s+i = Rt+i = Rs+i 由归纳法命题得证. 幂运算的性质（续） (3) 任取 q∈N, 若q<t, 显然有 Rq∈S. 若 q≥t, 则存在自然数 k 和 i 使得 q = s+kp+i，其中0≤i≤p?1. 于是 Rq = Rs+kp+i = Rs+i 而 s+i ≤s+p?1 = s+t?s?1 = t?1 这就证明了 Rq∈S. 4.3 关系的性质 4.3.1关系性质的定义和判别 自反性与反自反性 对称性与反对称性 传递性 4.3.2 关系的闭包 闭包定义 闭包计算 Warshall算法 自反性与反自反性 对称性与反对称性 传递性 关系性质的充要条件 自反性证明 对称性证明 反对称性证明 传递性证明 关系性质判别 实例 运算与性质的关系 闭包定义 定义4.17 设R是非空集合A上的关系, R 的自反 (对称或传递) 闭包 是A上的关系R?, 使得 R ?满足以下条件： (1) R ?是自反的（对