§2.1 解析函数.ppt

* 定理 以上定理的证明, 可利用求导法则. * 根据定理可知: (1) 所有多项式函数在整个复平面内是处处解析的. * 三、解析函数的充要条件 定理一 * 证 (1) 必要性. * * (2) 充分性. 由于 * * * [证毕] * * 解析函数的判别方法: * 例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: 解 不满足柯西－黎曼方程, * 四个偏导数均连续 * 四个偏导数均连续 * 例2 证 * * 例3 解 * 例4 证 * * 例5 解 * * 例6 证 * 由例6进一步可证明: * 四、小结 本节熟练掌握函数解析的充要条件 * 思考题 * 思考题答案 放映结束，按Esc退出. * Augustin-Louis Cauchy Born: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France 柯西资料 * Riemann 黎曼资料 Born: 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany)Died: 20 July 1866 in Selasca, Italy * 三、小结 理解复变函数导数与微分以及解析函数的 概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及 求导方法. §2.1 解析函数 一、复变函数的导数与微分 二、解析函数的概念 四、小结 三、解析函数的充要条件 * 一、复变函数的导数与微分 1.导数的定义: * 在定义中应注意: * 例1 解 * 例2 解 * * 例3 解 * * 2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证 * [证毕] * 3.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: * * 4.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致. 定义 * 特别地, * 二、解析函数的概念 1. 解析函数的定义 * 2. 奇点的定义 根据定义可知: 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析. * 例4 解 由本节例1和例3知: * * * 例5 解