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概率论与数理统计复习题 一：全概率公式和贝叶斯公式 例：某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9%, 12% 。现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。（同步45页三、1） 解：设A1，A2，A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B表示产品不合格，则A1，A2，A3为一个完备事件组。P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6, P(B| A1)＝0.08，P(B| A2)＝0.09，P(B| A3)＝0.12。 由全概率公式P(B) = P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 0.09 由贝叶斯公式：P(A1| B)＝P(A1B)/P(B) = 4/9 练习：设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（同步29页三、5）（1）取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。解：设事件={从第i箱取的零件}，={第i次取的零件是一等品}（1）P()=P()P(|)+P()P(|)=（2）P()=,则P(|)== 0.485 二、连续型随机变量的综合题 例：设随机变量X的概率密度函数为 求：（1）常数λ；（2）EX；(3)P{1<X<3}；（4）X的分布函数F(x)（同步47页三、2） 解：(1)由得到λ＝1/2 (2) (3) (4)当x<0时， 当0x<2时， 当x2时，F（x）=1 故 三、离散型随机变量和分布函数 例：设X的分布函数F(x)为： , 则X的概率分布为（ ）。 分析：其分布函数的图形是阶梯形，故x是离散型的随机变量 [答案： P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.] 练习：设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出其分布函数F(x)。 [答案：当x＜1时，F(x)=0; 当1≤x＜2时，F(x)=0.2;  当2≤x＜3时，F(x)=0.5;当3≤x时，F(x)=1 四、二维连续型随机向量 例：设与相互独立，且服从的指数分布，服从的指数分布，试求： （1）联合概率密度与联合分布函数；（2）； （3）在取值的概率。 解:（1）依题知 所以联合概率密度为 当时，有 所以联合分布函数 （2）； （3） 五、二维离散型随机向量 设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机向量(X,Y)的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值填入表中的空白处。 [ 答案： ] 六、协差矩阵 例：已知随机向量（X,Y）的协差矩阵V为 计算随机向量（X＋Y, X－Y）的协差矩阵（课本116页26题） 解：DX=4, DY=9, COV(X,Y)=6 D(X＋Y)= DX + DY +2 COV(X,Y)=25 D(X-Y) = DX + DY -2 COV(X,Y)=1 COV（X＋Y, X－Y）=DX-DY=-5 故（X＋Y, X－Y）的协差矩阵 练习：随机向量（X,Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为 计算随机向量（9X＋Y, X－Y）的协差矩阵（课本116页33题） 解：E(9X+Y)= 9EX+ E Y＝9μ1+μ2 E(X－Y)= EX－E Y＝μ1－μ2 D(9X＋Y)=81DX + DY +18 COV(X,Y)=81σ12＋18ρσ1σ2＋σ22 D(X－Y)= DX + DY －2 COV(X,Y)=σ12－2ρσ1σ2＋σ22 COV（9X＋Y, X－Y）=9DX-DY－8 COV(X,Y)= 9σ12－8ρσ1σ2－σ22 然后写出它们的矩阵形式（略） 七、随机变量函数的密度函数 例：设X(U(0,2),则Y=在(0,4)内的概率密度（ ）。 解：X(U(0,2) ， ， 求导出= （） 练习：设随机变量X在区间[1，2]上服从均匀分布，求Y=的概率密度f(y)。[答案：当时，f(y)=，当y在其他范围内取值时，f(y)=0.] 八、中心极限定理 例：设对目标独立地发射400发炮弹，已知每一发炮弹地命中率等于0.2。请用中心极限定理计算命中60发到100发的概率。（同步46页四、1） 解：设X表示400发炮弹的命中颗数，则X服从B(400,0.2),EX=80，DX=64, 由中心极限定