专题限时集训11　高考中的三角函数.docVIP

专题限时集训(十一)　高考中的三角函数 (建议用时：45分钟) 1．(2014·江苏高考)已知α∈，sin α＝. (1)求sin的值； (2)求cos的值． [解]　(1)因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－＝－. 4分故sin＝sincos α＋cossin α＝×＋×＝－. 6分(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，10分所以cos＝coscos 2α＋sinsin 2α＝×＋×＝－. 14分 2．(2016·苏锡常镇调研二)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m＝(cos B，cos C)，n＝(4a－b，c)，且m∥n. (1)求cos C的值； (2)若c＝，△ABC的面积S＝，求a，b的值． [解]　(1)∵m∥n，∴ccos B＝(4a－b)cos C，由正弦定理，得sin Ccos B＝(4sin A－sin B)cos C，化简，得sin(B＋C)＝4sin Acos C．4分∵A＋B＋C＝π，∴sin A＝sin(B＋C)．又∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴cos C＝. 6分(2)∵C∈(0，π)，cos C＝，∴sin C＝＝＝. 10分∵S＝absin C＝，∴ab＝2.① ∵c＝，由余弦定理得3＝a2＋b2－ab，12分∴a2＋b2＝4，② 由①②，得a4－4a2＋4＝0，从而a2＝2，a＝±(舍负)，所以b＝，∴a＝b＝. 14分 3．(2016·南通二调)在斜三角形ABC中，tan A＋tan B＋tan Atan B＝1. (1)求C的值； (2)若A＝15°，AB＝，求△ABC的周长． [解]　(1)因为tan A＋tan B＋tan Atan B＝1，即tan A＋tan B＝1－tan Atan B，2分因为在斜三角形ABC中，1－tan Atan B≠0，所以tan(A＋B)＝＝1，4分即tan(180°－C)＝1，亦即tan C＝－1，因为0°＜C＜180°，所以C＝135°. 6分(2)在△ABC中，A＝15°，C＝135°，则B＝180°－A－C＝30°，7分由正弦定理＝＝，得＝＝＝2，10分故BC＝2sin 15°＝2sin(45°－30°)＝2(sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°)＝，CA＝2sin 30°＝1. 12分所以△ABC的周长为AB＋BC＋CA＝＋1＋＝. 14分 4．(2016·镇江期中)广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，∠ACB＝，记该设施平面图的面积为S(x) m2，∠AOB＝x rad，其中＜x＜π. 图10-4 (1)写出S(x)关于x的函数关系式； (2)如何设计∠AOB，使得S(x)有最大值？ [解]　(1)由已知可得∠CBO＝x－，S扇形AOB＝lr＝2x，2分在△BCO中，由正弦定理可得：＝，所以CO＝2(sin x－cos x)，从而S△CBO＝BO·CO·sin∠BOC＝2sin2x－2sin xcos x，4分所以S(x)＝2sin2x－2sin xcos x＋2x＝2sin x(sin x－cos x)＋2x. 6分 (2)S′(x)＝2(sin 2x－cos 2x)＋2＝2sin＋2，7分由S′(x)＝0，解得x＝，令S′(x)＞0，解得＜x＜，所以增区间是；9分令S′(x)＜0，解得＜x＜π，所以减区间是；11分所以S(x)在x＝处取得最大值是2＋ m2. 13分答：设计成∠AOB＝时，该设施的平面图面积最大是2＋ m2. 14分 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tan A＋tan B)＝＋. (1)证明a＋b＝2c； (2)求cos C的最小值． 【导学号 [解]　(1)证明：由2(tan A＋tan B)＝＋得＝＋，3分∴2sin C＝sin A＋sin B，4分由正弦定理得a＋b＝2c. 6分(2)由cos C＝＝＝－1≥－1＝－1＝. 13分∴cos C的最小值为. 14分 6．如图10-5，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9 m和15 m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝45°. 图10-5 (1)求BC的长度； (2)在线段BC上取一点P(点P与点B，C不重合)，从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α＋β最小？ [解]　(1)作AE⊥CD，垂足E，则CE＝9，DE＝6，设BC＝x，2分 则tan∠CAD＝tan(∠CAE