(2006年全国高中数学竞赛第一试试题及答案.docVIP

2006年全国高中数学联赛试题 第一试 选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 已知△ABC，若对任意，，则△ABC一定为 A．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ ） 2. 设，则的取值范围为 A． B． C． 　D． 【答】（ ） 3. 已知集合，,，且，则整数对的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 （ ） 4. 在直三棱柱中，，. 已知Ｇ与Ｅ分别为 和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的取值范围为 A. B. C. D. 【答】 （ ） 5. 设，则对任意实数，是的 A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ ） 6. 数码中有奇数个9的2007位十进制数的个数为 A． B． C． D． 【答】（ ） 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 设，则的值域是 。 8. 若对一切R，复数的模不超过2，则实数的取值范围为 . 9. 已知椭圆的左右焦点分别为与，点P在直线l：上. 当取最大值时，比的值为 . 10. 底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm3. 11. 方程的实数解的个数为 . 12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13. 给定整数，设 是抛物线与直线的一个交点. 试证明对于任意正整数，必存在整数，使为抛物线与直线的一个交点. 14. 将2006表示成5个正整数之和. 记. 问： （1）当取何值时，S取到最大值； （2）进一步地，对任意有，当取何值时，S取到最小值. 说明理由. 15. 设 . 记，， . 证明：. 参考答案 选择题（本题满分36分，每小题6分） 1.【答】 （ C ）【解】令，过A作于D。由，推出　,令，代入上式，得 ，即 , 也即 。从而有。由此可得 。 2.【答】（ B ）【解】因为，解得 . 由 解得 ；或 解得 ，所以的取值范围为 . 3.【答】 （ C ）【解】　；。要使，则，即。所以数对共有。 4.【答】 （ A ）【解】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ轴，则（），，，（）。所以，。因为，所以，由此推出 。又，，从而有 。 5.【答】 （ A ）【解】显然为奇函数，且单调递增。于是 若，则，有，即，从而有. 反之，若，则,推出 ，即 。 6. 【答】（ B ）【解】出现奇数个9的十进制数个数有。又由于以及，从而得 。 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7.【解】　。令，则 。因此 。 即得。　　　　　　　　　　　　　　　　 8. 【解】依题意，得 （）（对任意实数成立） . 故 的取值范围为 。 9. 【解】 由平面几何知，要使最大，则过，P三点的圆必定和直线l相切于P点。设直线l交x轴于A，则，即，即 （1），又由圆幂定理，（2），而，，A，从而有，。代入（1），（2）得。 10. 【解】设四个实心铁球的球心为，其中为下层两球的球心，分别为四个球心在底面的射影。则ABCD是一个边长为的正方形。所以注水高为。故应注水＝。　　　　　 11.【解】 要使等号成立，必须　，即。 但是时，不满足原方程。所以是原方程的全部解。因此原方程的实数解个数为 1 。 12. 【解】第4次恰好取完所有红球的概率为 =0.0434. 三. 解答题（本题满分60分，每小题20分） 13. 【证明】 因为与的交点为.显然有。…（5分） 若为抛物线与直线的一个交点，则. …（10分） 记，则 ，　　　　（13.1） 由于是整数，也是整数，所以根据数学归纳法，通过（13.1）式可证明对于一切正整数，是正整数. 现在对于