八年级数学竞赛专题09 二次根式的概念与性质.docVIP

专题09 二次根式的概念与性质 阅读与思考 式子叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有： 1．．说明了与、2一样都是非负数． 2．＝（0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化． 3． 揭示了与绝对值的内在一致性． 4． （0，0） ． 5 ．（0，＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则． 6．若＞＞0，则＞＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础． 运用二次根式性质解题应注意： （1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围； 要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边． 例题与求解 【例1】设，都是有理数，且满足方程，那么的值是____________． （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题． 【例2】 当1≤≤2，经化简，＝___________． 解题思路：从化简被开方数入手，注意中0的隐含制约． 【例3】若＞0，＞0，且，求的值． （天津市竞赛试题） 解题思路：对已知条件变形，求，的值或探求，的关系． 【例4】若实数，，满足关系式： ，试确定的值． （北京市竞赛试题） 解题思路：观察发现（－199＋）与（199－－）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口． 【例5】已知，求＋＋的值． （山东省竞赛试题） 解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试 【例6】在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_________． （2）我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法．若△ABC三边的长分别为，2，（＞0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的△ABC，并求出它的面积． （3）若△ABC三边的长分别为，，2 （＞0，＞0，且≠）试运用构图法求出这个三角形的面积． （咸宁市中考试题） 解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得． 能力训练 A级 1．要使代数式有意义．则的取值范围是_____________． （“希望杯”邀请赛试题） 2．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答． 已知为实数，化简． 解：原式＝． 3．已知正数，，有下列命题： （1）若＝1，＝1，则1； （2）若＝，＝，则； （3）若＝2，＝3，则； （4）若＝1，＝5，则3． 根据以上命题所提供的信息，请猜想：若＝6，＝7，则________． （黄冈市竞赛试题） 4．已知实数，，满足，则（＋）的值为_______． 5．代数式的最小值是（ ）． A．0 B．1＋ C．1 D．不存在 6．下列四组根式中是同类二次根式的一组是（ ）． A．和2 B．3和3 C．和 D．和 （“希望杯”邀请赛试题） 7．化简的结果是（ ） ． A．6－6 B．－6＋6 C．－4 D．4 （江苏省竞赛试题） 8．设是一个无理数，且，满足－－＋l＝，则是一个（ ）． A．小于0的有理数 B．大于0的有理数 C．小于0的无理数 D．大于0的无理数 （武汉市竞赛试题） 9．已知，其中≠0，求的值． （山东省中考试颗） 10．已知与的小数部分分别是，，求的值． （浙江省竞赛试题） 11．设，，为两两不等的有理数． 求证：为有理数． （北京市竞赛试题） 12．设，都是正整数，且使，求的最大值． （上海市竞赛试题） B级 1．已知，为实数，y＝，则5＋6＝_________． 2．已知实数满足，则－19992＝___________． 3．正数，满足＋4－2－4＋4＝3，那么的值为_______． （北京市竞赛试题） 4．若，满足3＝7，则的取值范围是________． （全国初中数学联赛试题） 5．已知整数，