第19讲：圆的有关性质.doc

第19　圆的有关性质 考纲要求 备考指津 1.理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系． 2.了解圆心角与圆周角的关系，掌握垂径定理及推论. 　　中考主要考查圆的有关概念和性质，与垂径定理有关的计算，圆心角与圆周角的关系．题型以选择题、填空题为主． 考点一　圆的有关概念及其对称性 1．圆的定义： 圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做圆心，定长叫做半径． 2．圆的对称性： (1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形． 考点二　垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 考点三　圆心角、弧、弦之间的关系 1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 2．推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立． 考点四　圆心角与圆周角 1．定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角． 2．性质： (1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数． (2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半． (3)同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等． (4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD＝(　　)． A．70° B．60° C．50° D．40° 2．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝40°，则∠OBC的度数为________． 3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD＝65°，则∠ADC＝____. 4．圆的半径为2厘米，圆的一条弦长为2厘米，则此弦中点到所对的劣弧中点的距离为__________． 一、垂径定理 【例1】 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6 cm，求直径AB的长． 解：如图，连接OC，BC， 则根据AB⊥CD且P是OB的中点，得OC＝BC． ∵OC＝OB，∴OC＝OB＝BC． ∴△BOC为等边三角形． ∴∠BOC＝60°. 由垂径定理得CP＝CD＝×6＝3 cm. 在Rt△POC中，tan∠COP＝＝， ∴OP＝ cm. ∴AB＝2OB＝4OP＝4 cm. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300 m，CD=50 m，则这段弯路的半径是_______m. 二、圆心(周)角、弧、弦之间的关系 【例2】 如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD． (1)求证：DB平分∠ADC； (2)若BE＝3，ED＝6，求AB的长． (1)证明：∵AB＝BC， ∴＝.∴∠ADB＝∠BDC， ∴DB平分∠ADC． (2)解：由(1)知＝，∴∠BAE＝∠ADB． ∵∠ABE＝∠ABD，∴△ABE∽△DBA． ∴＝. ∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9. ∴AB2＝BE·BD＝3×9＝27. ∴AB＝3. 三、圆周角定理及推论 【例3】 如图，半圆的直径AB＝10，点C在半圆上，BC＝6. (1)求弦AC的长；(2)若P为AB的中点，PE⊥AB交AC于点E，求PE的长． 解：(1)∵AB是半圆的直径，点C在半圆上， ∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中， AC＝＝＝8. (2)∵PE⊥AB，∴∠APE＝90°. 又∠ACB＝90°， ∴∠APE＝∠ACB． 又∵∠PAE＝∠CAB， ∴△AEP∽△ABC． ∴＝.∴＝. ∴PE＝. 1．(2012重庆)已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为(　　)． A．45°　　　　　B．35°C．25° D．20° 2．(2011安徽芜湖)如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为(　　)． A． B．C． D．[来源:学科网ZXXK] 3．(2011福建三明)如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为(　　)． A．40°　　　　　　B．50°C．80°　　　　　　D．90° 4．(2012四川成都)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB＝2，OC＝1，则半径OB的长为__________． 5．(2011江苏盐城)如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交