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数值计算方法 —— 课程简介 张 勇 中山大学理工学院 zhyong9@mail.sysu.edu.cn 几个例子 θ 在我们学习物理学各门课程的过程中，是 怎么来解题的？ 根据题意　→　列出方程(代数方程、常 微分方程、偏微分方程 …) → 解方程 l θ m 考虑如右图所示的一个力学系 统。忽略连接小球的细线的质 量及一切摩擦力。给出小球的 运动状态(一般的教科书中会令 细线与垂线之间的夹角很小) 一个例子 θ 根据经典力学所学过的知识，可以写出小 球的动能与势能分别为 2 21 , cos 2 T ml V mgl? ?? ? ?? 2 21 cos 2 E T V ml mgl? ?? ? ? ?? 由于机械能守 恒，所以有 0 sin 0dE g dt l ? ?? ? ? ??? sin? ?? ? ?0 cos( )g t A tl? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 当夹角很小时有 一个例子 θ 当振幅不小时，这个问题怎么求解？ 当振幅不小时 运动方程可以改写为 这里 2 sin 0? ? ?? ??? sin? ?? g l ? ? 此时，数值求解是一种很不错的选择。在 这里没有明显写出初始条件 一个例子 θ 数值求解的结果 θ如果再考虑到小球受到空气的粘滞阻尼， 而且有一个周期性的外力作用在小球上， 小球的运动状态会怎么样呢？ ? ?sin ,D D D D g dq F t l dt F ?? ?? ? ? ? ? ? ?? 驱动力的振幅， 驱动力的频率 如果采用数值求解的话，几乎我们所有人 都能够来讨论小球的运动情况 一个例子 θ一个例子 θ一个例子 θ一个例子 实际问题的研究怎么开展？ 根据问题　→　提出物理模型　→　写 出物理模型的数学表达　→　求解(解方 程、求和、求极值、积分… ) 解析解形式优美，结果精确，便于研究 各相关因素之间的依赖关系，… 实际情况下，可以解析求解的问题不多。 θ一个例子 对于不能解析精确求解的问题，怎么解决 呢？ 近似。抓住问题的主要矛盾，省略次要矛 盾，简化模型。 这是解决问题的一种很有用的办法 怎么知道那些因素是主要的，而别的是可 以省略的次要矛盾呢？ θ一个例子 对于许多真实系统，只需要纸和笔而得到 精确解是不可能的 具体的计算结果对于理解物理内涵不是无 关紧要的 二十世纪五十年代中期统计物理中有一个 热点问题：一个仅有强的短程排斥力而无 任何吸引作用的球形粒子体系能否形成晶 体？ 为什么选择上本课程 θ ? 为进一步学习并研究数值计算打基础。 数值计算是一门有趣同时也很有学术和 应用价值的学科 ? 了解常见算法的优缺点、在实际应用当 中学会选择合适的算法。把商业计算软 件当做黑盒子或者盲目使用现成子程序 不是总能够得到正确结果！ ? 提高编程能力 考虑一个粒子(红色小球)，它可以在两条 轨道上运动。粒子受到一个随机力的影响， 使得它可以随机地跳跃到原轨道附近的地 方，两条轨道都是稳定的。 Y. Zhang, et. al., New J. Phys. 10 (103018) 2008 定性分析 1. 粒子受到随机力的 干扰，会偏离原轨道 2. 轨道是稳定的，粒 子偏离之后会回到原 轨道 3. 两轨道离得比较近， 在阴影部分粒子发生 偏离的话有可能进入 另外一条轨道 4. 如果一开始放入大 量粒子，那么应到看 到下图(用两个表示) 采用数值计算， 随机力以线性同 余法伪随机数生 产算法产生。 结果所能得到的 结果不是下图， 而是左上图。 为什么会出现上 边的结果？ 在更换一种更现 代的伪随机数生 产算法之后，得 到了如有图所示 的结果 你需要知道些什么 θ 一种编程语言：C/C++，或者Fortran 90/95；能够成功编译调试，并且计算出正 确结果 会使用一种做图软件，能够根据数据作出 图来；并输出为eps/ps文件，或者jpg文件 或者其他常见图形文件 能够阅读英文文献 通过本课程你可能学习到什么 θ 一些常用数值算法：如数值求解常微分方 程、快速傅里叶变换、线性方程解法、矩 阵计算、伪随机数生成 … … 等等 了解到在遇到具体问题时如何选择一些可 供选择的算法、了解到各种算法的优缺点 及应当避免的一些情况等 提高程序编写能力 课程安排 θ 第一周：本课程的主要内容及时间安排； 教材及主要参考书介绍；介绍与误差分析 有关的一些基本概念；避免误差危害的若 干原则 第二周：拉格朗日插值；均值与牛顿插 值；差分与等节点插值；Hermit插值；三 次样条插值；牛顿－柯特斯公式；复化求 积公式；龙贝格求积公式；高斯求积公 式；数值微分 θ课程安排 第三周：线性方程组求解的预备知识、高 斯消去法；高斯主元消去法。 第四周：矩阵三角分解法；向量矩阵的