高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《3.1.3 空间向量的数量积》评估训练.doc

3.1.3　 双基达标　?20分钟? 1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是(　　)． 若a·b＝0，则a＝0或b＝0 若λa＝0，0或a＝0 若a＝b，则a＝b或a＝－b 若a·b＝a·c，则b＝c 解析　对于，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0； 对于，a＝b，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b； 对于，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)． 答案　 2．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则下列向量的数量积等于a的是(　　)． · B．2· C．2· D．2· 解析　2＝－a，故错；2＝－a，故错； ·＝－，故错，只有正确． 答案　 3．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则s〈，〉的值为(　　)． B. C．－ 解析　因为＝(－)＝－＝||cos〈，〉－||||cos〈，〉， 又因为〈，〉＝〈，〉＝， |＝|，所以＝0， 所以，所以〈，〉＝0. 答案　 4．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则〈a，b〉＝________． 解析　将|a－b|＝化为(a－b)＝7，求得a·b＝，再由·b＝|a||b|cos〈a，b〉求得〈a，b〉＝ 答案　 已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________． 解析　∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)＝0，∴a＋b＋c＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0， a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13. 答案　－13 已知长方体ABCD－AD1中，AB＝AA＝2，AD＝4，E为侧面AA的中心，F为A的中点．求下列向量的数量积： (1)；(2) 解　如图所示，设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝＝c·a＝0 (1)·＝(＋)＝b·[(c－a)＋b]＝|2＝4＝16. (2)＝(＋)·(＋) ＝(c－a＋)·(a＋c)＝|c|－|a|＝2－2＝0. （限时25分钟） 已知在平行六面体ABCD－A中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60，则此平行六面体的对角线AC的长为(　　)． B．2 C. D. 解析：∵＝＋＋ 2＝(＋＋)＝＋＋＋·＋2＋2＝1＋1＋1＋2(＋＋)＝6，∴|＝ 答案： 8．已知a，b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是(　　)． A 解析　∵＝(＋＋)·＝＋|2＋＝|＝1， 〈，〉＝＝， 与b的夹角为60 答案　 9．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135，⊥n，则λ＝________． 解析　由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a1＋λ)a·b＋λb＝0，∴18＋(λ＋1)×3＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，∴λ＝－ 答案　－ 10．如图，已知正三棱柱ABC－A的各条棱长都相等，M是侧棱CC的中点，则异面直线AB和BM所成的角的大小______． 解析　不妨设棱长为2，则＝－，＝＋， 〈，〉＝＝＝0，故填90 答案　90 11．如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60 求证：BD⊥平面ADC. 证明　不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝ ·＝(－)·＝－， 由于＝(＋)＝＝1，＝||cos 60°＝× ＝1.∴＝0，即BD⊥AC，又已知BD⊥AD，AD∩AC＝A，∴BD⊥平面ADC. 12．(创新拓展)如图，正三棱柱ABC－A中，底面边长为 (1)设侧棱长为1，求证：AB； (2)设AB与BC的夹角为，求侧棱的长． (1)证明　＝＋，＝＋ ∵BB1⊥平面ABC，∴＝0，＝0. 又△ABC为正三角形，∴〈〉＝－〈〉＝－＝ ∵·＝(＋)·(＋) ＝＋＋＋ ＝||·cos〈，〉＋＝－1＋1＝0， (2)解　结合(1)知＝||·cos〈，〉＋＝－1. 又|＝)＝＝| ∴cos〈，〉＝＝， |＝2，即侧棱长为2.