机械振动大作业简支梁的各情况分析2.docx

机 械 振 动 大 作 业 姓 名：徐 强 学 号：SX1302106 专 业：航空宇航推进理论与工程 能源与动力学院 2013年12月  简支梁的振动特性分析 题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。 解答： 单自由度简支梁的振动特性 如图1，正方形截面（取5mm×5mm）的简支梁，跨长为=1m，质量m沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为,固有频率ωn=，其中k为等效刚度，为等效质量。因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有频率。 根据材料力学的结果，由于横向载荷F作用在简支梁中间位置而引起的变形为（）, 为最大挠度，则： == 梁本身的最大动能为： = Tmax=2×= 如果用表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为： Tmax= 所以质量为m的简支梁，等效到中间位置的全部质量为： 故单自由度简支梁横向振动的固有频率为： ωn== 图1 简支梁的单自由度模型 双自由度简支梁的振动特性 如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在处的等效质量即可。在至之间积分，利用最大动能进行质量等效，略去小量得： 所以，质量矩阵为： 双自由度简支梁的柔度矩阵： 在b=处作用单位力，挠曲线方程为：则处的变形为：，同理可求：，，其中。 所以，柔度矩阵为： 动力矩阵： 令特征行列式为零，得到频率方程为： 其中，，将上式整理得： 其中，。 解上述方程的根为： , , 由式， 其中，分别将、代入上式，得 第一、二阶主振型分别为： ， 图2 简支梁的双自由度模型 三自由度简支梁的振动特性 如图3，将简支梁简化为三自由度模型，按照双自由度类似的等效思想，可得等效质量： 因此，质量矩阵为： 由机械振动中文教材例6.6可知，系统的柔度矩阵为： 其中，。 动力矩阵： 令特征行列式为零，得到频率方程为： 其中，，将上式整理得： 其中，。 利用Matlab软件,求解上述方程的根为： , , , 由式， 其中，分别将、、代入上式，得 第一、二、三阶主振型分别为： ， , 图3 简支梁的三自由度模型 十自由度简支梁的数值方法 将简支梁简化为十自由度模型（如图4）。 图4 简支梁的十自由度模型 通过在一点施加单位力，计算其余点的挠度，可得柔度矩阵： 0.0137 0.0240 0.0306 0.0339 0.0344 0.0324 0.0284 0.0227 0.0158 0.0081 0.0240 0.0443 0.0579 0.0650 0.0664 0.0628 0.0552 0.0443 0.0309 0.0158 0.0306 0.0579 0.0787 0.0904 0.0934 0.0891 0.0787 0.0633 0.0443 0.0227 0.0339 0.0650 0.0904 0.1071 0.1131 0.1093 0.0973 0.0787 0.0552 0.0284 0.0344 0.0664 0.0934 0.1131 0.1229 0.1212 0.1093 0.0891 0.0628 0.0324 0.0324 0.0628 0.0891 0.1093 0.1212 0.1229 0.1131 0.0934 0.0664 0.0344 0.0284 0.0552 0.0787 0.0973 0.1093 0.1131 0.1071 0.0904 0.0650 0.0339 0.0227 0.0443 0.0633 0.0787 0.0891 0.0934 0.0904 0.0787 0.0579 0.0306 0.0158 0.0309 0.0443 0.0552 0.0628 0.0664 0.0650 0.0579 0.0443 0.0240 0.0081 0.0158 0.0227 0.0284 0.0324 0.0344 0.0339 0.0306 0.0240 0.0137 表1 十自由度挠度变形矩阵 十自由度简支梁为十个