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2017­5­22 彪炳千秋吴方法 彪炳千秋吴方法 2017-05-21 顾险峰 老顾谈几何 符号主义和连接主义是人工智能方法的两大流派。历史上 ，作为连接主义的代表 ，人工神经网络 几经沉浮 ，目前攀上了发展的巅峰 ，高歌猛进、如火如荼 ；而符号主义发展的巅峰之一 ，是吴文 俊先生开创的机器定理证明。 吴先生曾经指出 ，源自希腊的西方数学主要遵循 “公理化”的原则来搭建理论大厦 ；而中国古代 数学的传统却着重于构造性算法化的证明 ，因而适合现代计算机科学发展的脉络。 公理化系统首先建立一系列 “不可辩驳”的公理 （axioms ），然后通过逻辑演算来推演引理、定 理和推论 ，从而推演出整个理论体系。只要承认公理 ，那么所有的推导结果必然自动为真。特别 是所有的推演过程都可以严格检验 ，由机械完成。数千年来 ，公理化方法已经成为各门科学发展 的范式 ，从欧几里得几何 ，到牛顿力学 ，再到广义相对论。在数学的所有分支几乎都是以公理化 系统为历史总结 ，成为这一分支成熟的标志 ，例如同调论 （homology Theory ）。饶有兴味的 是 ，在数学中许多艰深的概念由于过于抽象 ，无法直接描述 ，反而以更为抽象的公理化方法来加 以定义 ，比如Milnor介绍矢量丛的Stiefel-Whitney示性类的概念就是用如此手法 ，然后又异常迂 回曲折地构造了一个真正的实例。 历史上 ，以希尔伯特 （Hilbert ）为代表的数学家力图用公理化方法来统一整个数学 ，建立一个包 罗万象的公理系统 ，来囊括所有的数学真理。哥德尔的不完备性定理否定了这一宏伟蓝图。哥德 尔证明任意一个包含初等数论的公理系统 ，并且是自洽的 ，它必定包含某些命题 ，这些命题的真 伪无法被该系统证明 ；如果此系统无矛盾 ，则其无矛盾性不可能在此系统内证明。这意味着 ，对 于任意包含有限公理的形式系统 ，存在一条数学真理 ，此系统可以表述但是无法证明 ，因此真理 的探索过程是无止境的 ；同时 ，这一系统的无矛盾性 ，必须由其他系统来证明。这种现象比比皆 是 ，例如某一数学领域最为根本的定理 ，往往用另外数学领域的方法来证明 ，代数的基本定理是 说多项式方程存在根 ，这一定理只能用拓扑方法来证明。 欧几里得几何的公理体系不包含初等数论 ，它是完备的。长期以来 ，人类经过大量的生产实践 ， 都认为欧几里得几何的几条公理不证自明 ，是唯一 “真实”的几何。后来 ，罗巴切夫斯基将第五 公设 “过直线外一点存在一条平行线”修改成 “过直线外一点存在无穷多条平行线” ，通过逻辑 演绎 ，建立了双曲几何。如果将此公设改成 “过直线外一点不存在平行线” ，则可以得到球面几 何。长期以来 ，人们一直将双曲几何和球面几何作为纯粹智力游戏的产物 ，倾向于认为它们没有 真实的物理基础。依随科学的发展 ，欧氏几何、球面几何和双曲几何都成为黎曼几何的特例 ，广 义相对论的建立使人们相信黎曼几何物理真实性 ，从而不再纠结逻辑演绎结论的物理基础。历史 的发展总是依循 “否定之否定”的规律 ，共形几何的发展揭示了所有的二维黎曼流形 ，在保角变 换下都可以归结为球面几何、欧氏几何和双曲几何中的一种 ，如图1所示。近些年来 ，依随计算机 科学的发展 ，几乎所有的曲面几何计算问题都可以归结在这些标准空间中的计算问题 ，因此对于 这三种古老而 “正统”的几何研究日益复苏。 /s/­M9EFHK1WRozf530iL0Meg 1/9 2017­5­22 彪炳千秋吴方法 图1.曲面单值化定理 ，所有度量曲面归结为球面几何、欧氏几何和双曲几何。  吴文俊先生为了弘扬中国数学构造性算法化的传统 ，将数学 （特别是代数几何 ）与计算机科学相 结合 ，开创了机器几何定理证明的方向 ，只手擎天地推动了数学机械化的发展。吴先生认为在很 大程度上 ，人们可以用复杂的计算推演来代替抽象的推理 ，从而用计算机来辅助数学家去发现自 然结构、获取数学真理。吴先生发明的吴方法 ，完全可以证明所有欧几里得几何的定理 ，同时被 广泛应用于许多数学和工程领域。 机器几何定理证 明 基于吴方法的自动几何定理定理证明大致步骤如下 ： 1. 将几何问