第11讲-贪心算法的应用.pptx

;;最小生成树（Minimum-spanning-tree，MST） 带权无向连通图G=(V,E)，对于每条边(u,v)∈E，其权重为w(u,v)，G的一棵生成树T是无环的，并且连通所有顶点。T中各边的权之和W(T) 称为树的权，具有最小权的生成树称为G 的最小生成树。 ;最小生成树（Minimum-spanning-tree，MST） 用带权的连通无向图G的顶点表示城市，边表示连接两个城市之间的通信线路，边上的权表示距离或代价等。若有n个城市，最多可构造n(n-1)/2条线路。如何在这些可能的线路中，选择其中（n-1）条线路，使其总的代价最小（或者线路的总的长度最短）？;最小生成树（Minimum-spanning-tree，MST） 解决最小生成树问题的两种算法：Kruskal算法和Prim算法。这两种算法都是采用贪心策略。 贪心策略的两个基本要素 最优子结构性质 贪心选择正确性;最小生成树的最优子结构 假设生成树T是带权无向连通图G=(V,E)的一棵最小生成树。;?;最小生成树问题也具有重叠子问题性质 因此，可以用动态规划求解最小生成树问题。;最小生成树的形成 贪心策略：每次贪心选择，增长最小生成树的一条边 定义集合A为图G的某棵最小生成树的一个子集 每一次贪心选择一条边(u,v)，将其加入集合A中，使得A?{(u,v)}也是一棵最小生成树的子集。称边(u,v)为集合A的安全边。 GENERIC-MST(G,w) A=? Whie A does not form a spanning tree find an edge (u,v) that is safe for A A= A?{(u,v)} Return A;术语定义： 无向图G=(V,E)中的一个切割(S,V-S)，将结点集合V划分为S和V-S两个集合。 如果一条边(u,v)∈E的一个端点位于集合S，另一个端点位于集合V-S，则称该条边(u,v)横跨切割(S,V-S)。 边集合A，如果集合A中不存在横跨切割(S,V-S)的边，则称该切割(S,V-S)尊重集合A（a cut respects a set A）。 在横跨一个切割的所有边中，权重最小的边称为轻量级边（light edge）。 ;第11讲 贪心算法的应用;定理： 带权无向连通图G=(V,E)，假设集合A是E的一个子集，且A包括在图的某可最小生成树中，设(S,V-S)是图 G中尊重集合A的任意一个切割，(u,v)是横跨切割(S,V-S)的一条轻量级边，那么边(u,v)对于集合A是安全的。;假设T是一棵包含A的最小生成树 T中不包含边(u,v) 待证明： 将边(u,v)加入到集合A中， A?{(u, v)}也是某棵最小生成树的子集，即边 (u,v)对于集合A是安全的。 ;最小生成树T中从结点u到结点v有一条简单路径p； 结点u位于集合S，结点v位于集合V-S中，简单路径p中至少有一条边横跨切割(S,V-S)，假设该边为(x,y)； 切割(S,V-S)尊重集合A，所以(x,y)? A ;删除边(x,y)，添加边(u,v)，形成一棵新的生成树T’ T’=T-{(x, y)}?{(u, v)} (u,v),(x,y)都横跨切割(S,V-S)的边 (u,v)是横跨切割(S,V-S)的一条轻量级边 w(u,v)≤w(x,y) W(T’)=W(T)-w(x,y)+w(u,v) ≤W(T) T是最小生成树，W(T) ≤W(T’) T’一定也是一棵最小生成树 ;T是一棵包含A的最小生成树，A?T (x,y)? A，T’=T-{(x, y)}?{(u, v)} A?T’,A?{(u, v)} ?T’ T’是一棵最小生成树 所以，(u,v)对集合A是安全的 ;最小生成树的形成 GENERIC-MST(G,w) A=? Whie A does not form a spanning tree find an edge (u,v) that is safe for A A= A?{(u,v)} Return A Kruskal和Prim算法的差别就在于如何确定安全边(u,v)。;第11讲 贪心算法的应用;;;带权无向连通图G=(V,E)，假如所有边的权重都互不相同，则图G的最小生成树是唯一的。;?;?;第11讲 贪心算法的应用;?;?;设置两个辅助数组： lowcost[ ]：存放生成树顶点集合U内顶点到生成树外(V-U)各顶点的各边上的当前最小权值； nearvex[ ]：记录生成树外各顶点距离集合U内哪个顶点最近(即权值最小)。;?;;;;;;;最短路径 (Shortest Path) 用带权有向图表示交通网络，顶点表示城市，边u,v表示城市u到城市v的直