专题17 第五章 复习与检测（核心素养练习）（解析版）.docx

专题十七 第五章 复习与检测 核心素养练习 一、核心素养聚焦 考点一 逻辑推理-三角函数性质的运用 例题6.已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋2，求不等式f(x)＜1的解集． 【解析】由f(x)＜1得2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋2＜1， 所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＜－eq \f(1,2) 所以2kπ－eq \f(5π,6)＜2x＋eq \f(π,6)＜2kπ－eq \f(π,6)，k∈Z。 解得kπ－eq \f(π,2)＜x＜kπ－eq \f(π,6)，k∈Z， 所以不等式f(x)＜1的解集eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)＜x＜kπ－\f(π,6)，k∈Z)))) 考点二 数学运算-三角函数求值 例题7.已知sin α－cos α＝－eq \f(\r(5),5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))). (1)求sin α和cos α的值； (2)求coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－β＋\f(π,4)))的值． 【解析】　(1)由题意得(sin α－cos α)2＝eq \f(1,5)， 即1－sin 2α＝eq \f(1,5)，∴sin 2α＝eq \f(4,5).又2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))， ∴cos 2α＝eq \r(1－sin2 2α)＝eq \f(3,5)，∴cos2 α＝eq \f(1＋cos 2α,2)＝eq \f(4,5)， ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，∴cos α＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，sin α＝eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5). (2)∵β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq \f(4,5)， coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－β＋\f(π,4)))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))))) ＝cos αcoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＋sin αsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))) ＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(4,5)＋eq \f(\r(5),5)×eq \f(3,5)＝eq \f(11\r(5),25). 考点三 数学建模-三角函数的平面几何中的应用 例题8、直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2米，过点P的一直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜\f(π,2))). (1)将线段AB的长度l表示为θ的函数； (2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计) 【解析】　(1)由题意可知：l＝eq \f(2,sin θ)＋eq \f(2,cos θ)＝eq \f(2?sin θ＋cos θ?,sin θ·cos θ)， 其中0＜θ＜eq \f(π,2). (2)l＝eq \f(2?sin θ＋cos θ?,sin θ·cos θ)， 设t＝sin θ＋cos θ＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))， 因为0＜θ＜eq \f(π,2)，所以eq \f(π,4)＜θ＋eq \f(π,4)＜eq \f(3π,4)， 所以t∈(1，eq \r(2)