《高等数学》14.5中心极限定理.PPT

* * §14.5 中心极限定律 中心极限定理的概念 中心极限定理 中心极限定理的应用 小结 练习 * * 某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况. 引例 考察射击命中点与靶心距离的偏差. 这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等) 的作用, 所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的, 并且它们中每一个对总和产生的影响不大. 问题 14.5.1 中心极限定理的概念 * * * * （依分布收敛） * * 14.5.2 中心极限定理 1. 独立同分布中心极限定理 (Levy-Lindeberg) * * 定理表明 * * 证明 根据第4章第2节可知 2. 德莫佛－拉普拉斯定理 * * 根据独立同分布中心极限定理得 定理表明 正态分布是二项分布的极限分布. 当n充分大时, 可利用正态分布来近似地计算二项分布的概率. * * 14.5.3 中心极限定理的应用 1. 二项分布概率的近似计算 当n很大时, 直接计算很困难. 根据德莫佛?拉普拉斯中心极限定理, 可用正态分布来近似计算. * * 例1 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开 灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互独立的， 试求夜晚同时开着的灯数在6800~7200盏之间的概率. 解 令 X 表示在夜晚同时开着的灯数，则 分布律为 所求概率为 直接计算很麻烦, 利用德莫佛－拉普拉斯中心极限定理来近似计算. * * 注：与切比雪夫不等式估算的结果相比较---精确得多 * * 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加, 每人每年交200元. 若老人在该年内死亡, 公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为 0.017, 试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率. 解 设 X 为一年中投保老人的死亡数, 则 例2 分析 保险公司一年的总收入为200万元, 而若 一年中老年人死亡人数 200, 则保险公司亏本. * * 保险公司亏本的概率为 由德莫佛－拉普拉斯中心极限定理知, * * 2. 用频率作为概率的近似值的误差估计 由伯努利大数定律可知 根据德莫佛—拉普拉斯中心极限定理，当n充分大时，有 * * 注：用这个关系式可解决许多计算问题. * * 重复掷一枚质地不均匀的硬币, 设在每次试 验中出现正面的概率 p 未知. 试问要掷多少次才能 使出现正面的频率与 p 相差不超过1/100的概率达95%以上？ 例4 解 由题意, 要求n, 使 即 * * 即 即 即 而 所以, 要掷9604次以上才能使出现正面的频率与概率相差不超过1/100的概率达95%以上. * * 两个中心极限定理 独立同分布中心极限定理 德莫佛－拉普拉斯中心极限定理 中心极限定理表明, 在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于正态分布. 小结 * * （P131 一、4） * * 一个复杂系统由 100 个相互独立起作用的 部件组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率 为0.10. 为了使整个系统正常运行，至少必须有85 个部件正常工作，求整个系统能正常运行的概率. 解 设 X 是正常的部件数, 则 X ~ b(100, 0.9). 整个系统能正常运行当且仅当 X ≥85. 由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 （P133 12（1））