2020高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课下层级训练15 利用导数研究函数的极值、最值（含解析）文 新人教A版.doc

PAGE PAGE 7 课下层级训练(十五)　利用导数研究函数的极值、最值 [A级　基础强化训练] 1．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　) A．1－e　　　　　　 B．－1 C．－e D．0 B　[因为f′(x)＝eq \f(1,x)－1＝eq \f(1－x,x)，当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1.] 2．若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为(　　) A．1百万件 B．2百万件 C．3百万件 D．4百万件 C　[y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)， 当0<x<3时，y′>0；当x>3时，y′<0. 故当x＝3时，该商品的年利润最大．] 3．(2019·河南南阳月考)已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(1,2)ax2＋x在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞)　　　　　　　 B．[2，＋∞) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))) C　[函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(1,2)ax2＋x，求导f′(x)＝x2－ax＋1，由f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上既有极大值又有极小值，则f′(x)＝0在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))内应有两个不同实数根.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＞0，,f′?3?＞0，,\f(1,2)＜\f(1,a)＜3，,f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＜0))解得2＜a＜eq \f(5,2)，实数a的取值范围eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))).] 4．(2019·福建漳州月考)已知函数f(x)＝ln x－ax存在极大值0，则a的值为(　　) A．1　　　　 B．2　　　　 C．e　　　　 D．eq \f(1,e) D　[∵f′(x)＝eq \f(1,x)－a，x＞0，当a≤0时，f′(x)＝eq \f(1,x)－a＞0恒成立，函数f(x)单调递增，不存在最大值；当a＞0时，令f′(x)＝eq \f(1,x)－a＝0，解得x＝eq \f(1,a)；当0＜x＜eq \f(1,a)时，f′(x)＞0，函数单调递增，当x＞eq \f(1,a)时，f′(x)＜0，函数单调递减，∴f(x)max＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝ln eq \f(1,a)－1＝0，解得a＝eq \f(1,e).] 5．(2019·河北三市联考)若函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,2)))x2＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为(　　) A．2b－eq \f(4,3) B．eq \f(3,2)b－eq \f(2,3) C．0 D．b2－eq \f(1,6)b3 A　[f′(x)＝x2－(2＋b)x＋2b＝(x－b)(x－2)， ∵函数f(x)在区间[－3,1]上不是单调函数， ∴－3<b<1，则由f′(x)>0，得x<b或x>2，由f′(x)<0，得b<x<2，∴函数f(x)的极小值为f(2)＝2b－eq \f(4,3).] 6．(2019·河北沧州模拟)若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为__________. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，＋∞))　[f′(x)＝3x2－4cx＋1，由f′(x)＝0有两个不同的根，可得Δ＝(－4c)2－12>0，∴c>eq \f(\r(3),2)或c<－eq \f(\r(3),2).] 7．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1<2<x2，则实