求曲线的方程上课用讲解.ppt

求方程的曲线 1 曲线与方程的关系 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建 立了如下关系： 1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解； 2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 那么这个方程叫做 曲线的方程 ；这条曲线叫做 方程的曲线 。 新课 2 （ 1 ）“ 曲线上的点的坐标都是这个方程 的解 ” ， 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说 曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外 （ 2 ）“ 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 ” 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏 由曲线与方程的定义可知，如果曲线 C 的 方程是 f(x ， y)=0 ，那么点 P 0 (x 0 ， y 0 ) 在 曲线 C 上的充要条件是 f(x 0 ， y 0 )=0 . 纯粹性 完备性 说明 3 例 1 判断下列结论的正误并说明理由 （ 1 ）过点 A （ 3 ， 0 ）且垂直于 x 轴的直线为 x=3 （ 2 ）到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为 y=2 （ 3 ）到两坐标轴距离乘积等于 1 的点的轨迹方程为 xy=1 对 错 错 认识概念 变式训练： 写出下列半圆的方程 y y y -5 y 5 5 5 5 5 5 5 -5 -5 -5 -5 0 0 x x x x 4 1 ．解析几何与坐标法： 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做 坐标 法 . 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一 门叫 解析几何 的学科 . 因此，解析几何是用代数方法研 究几何问题的一门数学学科 . 2 ．平面解析几何研究的主要问题： （ 1 ）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （ 2 ）通过方程，研究平面曲线的性质 . 说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤 . 5 问题 1. 设 A 、 B 两点的坐标是 ( - 1, - 1) 、 (3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程 . 如何求曲线的方程 ? 运用现成的结论──直线方程的知识来求 . 解 : ∵ 7 ( 1) 2 3 ( 1) AB ? ? ? ? ? ? k , ∴所求直线的斜率 k = 1 2 ? 又∵线段 AB 的中点坐标是 1 3 1 7 ( , ) 2 2 ? ? ? ? 即 (1,3) ∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 1 3 ( 1) 2 y x ? ? ? ? . 即 x +2y-7=0 法一 : 法二 : 若没有现成的结论怎么办 ? ──需要掌握一般性的方法 : 轨迹法 6 问题 1. 设 A 、 B 两点的坐标是 ( - 1, - 1) 、 (3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程 . 解 : 设 M( x,y ) 是线段 AB 的垂直平分线上的任一点 , 我们的目标就是要找 x 与 y 的关系式 则 | MA|=|MB | 需要尝试、摸索 先找曲线上的点满足的几何条件 ∴ 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 3) ( 7) x y x y ? ? ? ? ? ? ? 坐标化 ∴ 2 2 2 2 2 1 2 1 6 9 14 49 x x y y x x y y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ 2 7 0 x y ? ? ? ( Ⅰ ) 化简 ⑴由上面过程可知 , 垂直平分线上的任一点 的坐标都是方程 2 7 0 x y ? ? ? 的解 ; 证明 ⑵设点 1 M 的坐标 1 1 ( , ) x y 是方程 ( Ⅰ ) 的解 , 即 1 1 2 7 0 x y ? ? ? ∵上面变形过程步步可逆 , ∴ 2 2 2 2 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 3) ( 7) x y x y ? ? ? ? ? ? ? 1 1 M A M B ? 综上所述 , 线段 AB 的垂直平分线的方程是 2 7 0 x y ? ? ? . 1 方法小结 7 直接法（轨迹法） 求曲线（图形）的方程，一 般有下面几个步骤： 说明： 一般情况下，化简前后方程的解集是相 同的，步骤（ 5 ）可以省略不写， 如有特殊情况， 可适当予以说明 . 另外，根据情况，也可以省略 步骤（ 2 ），直接列出曲线方程 . (1) 建系设点： 建立适当的坐标系 , 用有序实数 对（ x,y ）表示曲线上任意一点 M 的坐标； (2) 列式