2021年高考数学（理）立体几何二轮专项提升《专题05 破译空间中有关外接球的问题》（解析版）.docVIP

专题05 破译空间中有关外接球的问题 一、单选题 1．（2020·重庆市育才中学高三月考）过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30°的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题画出图形,设球心为,则为一条半径,为中点,过点的平面与所成角为30°,截面的圆心为,截面与球一交点为,则,截面,则,, 设,则,, 所以在中,,则, 所以所得截面的面积与球的表面积的比为,故选:C 2．（2020·湖北省高三）已知三棱锥的所有顶点在球的球面上，平面，是等腰直角三角形，，是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点是的外心，过点作平面使， 是外接球球心，半径设为，则. 在直角梯形中，，，，得， 过点作球的截面，当截面时，截面面积最小， 此时截面圆的半径为， 截面面积的最小值是.故选：B. 3．（2020·福建省高三月考）在三棱锥中，底面，，是线段上一点，且.三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将三棱锥补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球， 记三角形的中心为，设球的半径为，， 则球心到平面的距离为，即， 连接，则，∴. 在中，取的中点为，连接， 则，， 所以.在中，， 由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小， 设此时截面圆的半径为， 则， 所以最小截面圆的面积为， 当截面过球心时，截面面积最大为， 所以，， 球的表面积为.故选:C. 4．（2020·福建省福州第一中学高三开学考试）在棱长为6的正方体中，点满足，则三棱锥的外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 连接，如图建立空间直角坐标系， 设P为三棱锥的外接球的球心， 故P到三点的距离相等， 由正方体的性质，P点在直线上 不妨设 由于 外接球半径： 故表面积,故选：C 5．（2020·云南省云南师大附中高三月考）四边形是菱形，，，沿对角线翻折后，二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如下图所示，取的中点为，设球心在平面内的射影为 ，在平面内的射影为，则二面角的平面角为，， 所以，，，设， 则，，则，， ，， 球的半径，所求外接球的体积为， 故选：B. 6．（2020·河北省高三月考）圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l，则侧面积为， 侧面积与底面积的比为,则母线l=2r,圆锥的高为h=, 则圆锥的体积为, 设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则OB=OS=R,OD=h-R=,BD=r, 在直角三角形BOD中，由勾股定理得,即, 展开整理得R=所以外接球的体积为, 故所求体积比为，故选：A 7．（2020·湖南省高三期末）设三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知底面外接圆的圆心为斜边的中点，则外接圆的半径，而，， 所以，所以，过的中点做垂直于底面的直线交中截面与点，则为外接球的球心， 由题意得：，所以外接球的表面积， 故选：． 8．（2020·全国高三课时练习）体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A. 二、填空题 9．（2020·全国高三课时练习）已知圆台的上、下底面都是球的截面，若圆台的高为，上、下底面的半径分别为，，则球的表面积为__________． 【答案】 【解析】设球半径为R，球心O到上表面距离为x，则球心到下表面距离为6-x,结合勾股定理，建立等式，解得，所以半径 因而表面积 10．（2020·山东省高三）若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______. 【答案】. 【解析】作出圆柱与其外接球的轴截面如下： 设圆柱的底面圆半径为，则，所以轴截面的面积为，解得，因此，该圆柱的外接球的半径， 所以球的表面积为.故答案为 11．（2020·广西壮族自治区广西师大附属外国语学校高三）在平面四边形ABCD中，ΔBCD是边长为2的等边三角形，ΔBAD为等腰三角形，且∠BAD=，以BD为折痕，将四边形折成一个的二面角，并且这个二面角的顶点A，