第2章 极限与连续 .doc

第2章　极限与连续 极限概念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握好极限方法是学好微积分的关键.连续是函数的一个重要性态.本章将介绍极限与连续的基本知识和基本方法. §2.1　数列的极限 2.1.1 数列极限的定义 定义1 数列是定义在自然数集N上的函数，记为.由于全体自然数可以排成一列，因此数列就是按顺序排列的一串数： 可以简记为.数列中的每个数称为数列的项，其中称为数列的一般项或通项. 下面让我们考察当n无限增大时(记为，符号“→”读作“趋向于”)，一般项的变化趋势. 观察下面数列： (1) (2) (3) (4) (5) . 容易看出，数列(1)的项随n增大时，其值越来越大，且无限增大；数列(2)的各项值交替地取0与1；数列(3)各项的值均相同. 为清楚起见，将数列(4)和(5)的各项用数轴上的对应点表示，如图1-1 (a)、(b)所示. 图2-1 从图1-1可知，当n无限增大时，数列在数轴上的对应点从原点的右侧无限接近于0；数列在数轴上的对应点从的两侧无限接近于1.一般地，可以给出下面的定义： 定义2　对于数列，如果当n无限增大时，一般项的值无限接近于一个确定的常数A，则称A为数列当n趋向于无穷大时的极限，记为 ,或者． 此时，也称数列收敛于A，而称为收敛数列.如果数列的极限不存在，则称它为发散数列. 例如数列，是收敛数列,且 ，. 而,是发散数列. 有了对数列极限的直观了解后，我们来考察如何用精确、定量化的数学语言来给出数列极限的定义. 现再考察数列的变化趋势，由于,因此当项数n充分大时，可任意小.例如，若要使,只要即可.这意味着数列从第101项开始，后面所有的项：都能使不等式成立.同样，若要使，只要即可.这意味着数列从第10001项开始，后面所有的项都能使不等式成立. 一般地，无论给定的正数ε多么小，要使，只要即可.如果取自然数，则当时，可使得数列中满足的一切，不等式都成立. 定义2′(数列极限的精确定义)　如果对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得对于的一切，都有不等式成立，则称常数A为数列当时的极限，或称数列收敛于A.记为　或者　． 注：定义2′称为数列极限的“”语言,虽然比较抽象，但只要抓住要点，可以精确描述和论证相关数列的极限. 下面给出数列极限的几何意义. 将数列中的每一项都用数轴上的对应点来表示.若数列的极限为A，则对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使数列从第项开始，后面所有的项xn均满足不等式，即，所以数列在数轴上的对应点中有无穷多个点都落在开区间内，而在开区间以外，至多只有有限个点（图1-2). 图2-2 为了以后叙述的方便，这里介绍几个符号: 符号“”表示: “对于任意的”、“对于所有的”或“对于每一个”； 符号“”表示“存在”,“有一个”； 符号“”表示数集X中的最大数；符号“”表示数集X中的最小数. 下面举两个用精确定义证明极限的例子. 例1　证明： . 证明　对于任给的正数ε，要使，只要即可，所以可取正整数. 因此，，，当时，总有，所以 . 例2　证明：. 证明　对于任给的正数ε，要使，即，只要即可，所以可取正整数. 因此，，，当时，总有. 所以 . 下面给出几个常用数列的极限： (1) (C为常数). (2) . (3) . 2.1.2 数列极限的性质 定理1(唯一性) 若数列收敛，则其极限唯一. 证(反证法) 设数列收敛，但极限不唯一：，，且，不妨设，由极限定义，取，由，则，当时，，即 , 由，则，当时，,即 , 取,则当时, 不等式 与 应同时成立，显然矛盾.该矛盾证明了收敛数列的极限必唯一. 定义3 设有数列，若，使对一切有 ， 则称数列是有界的，否则称它是无界的. 例如，数列，有界；数列有无界. 定理2（有界性） 若数列收敛，则数列有界. 证 设，由极限定义，，且，，当时，，从而. 取，则有，对一切成立，即有界. 定理2 的逆命题不成立，例如数列有界，但它不收敛. 推论　无界数列必发散. 定理3（保号性） 若，（或），则，当时，（或）. 证 由极限定义 ，对，，当时，，即，故当时，. 类似可证的情形. 推论 设有数列， ，当时，(或),若,则必有(或). 注：在推论中,我们只能推出 (或),而不能由(或)推出其极限(若存在)也大于0(或小于0).例如,但. 习题2-1 1. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) ; (2)