第9章 无穷级数 .doc

第9章　无 穷 级 数 无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，本质上它是一种特殊数列的极限.它是用来表示函数、研究函数性质，以及进行数值计算的一种工具，对微积分的进一步发展及其在各种实际问题上的应用起着非常重要的作用．本章先讨论常数项级数，介绍级数的一些基本知识，然后讨论幂级数及其应用. §9.1　常数项级数的概念和性质 9.1.1　常数项级数的概念 人们在研究事物数量方面的特性或进行数值计算时，往往要经历一个由近似到精确的逼近过程，其中会涉及有限个到无限个数量相加的问题． 例1　分数写成循环小数形式为0．333…，在近似计算中，可以根据不同的精确度要求，取小数点后的n位数作为的近似值．因为0．3=,0．03=，0．003=，…，，所以有 ． 显见，n越大这个近似值就越接近，根据极限的概念可知 , 从形式上看，上式也可写成 ． 上式左端称为一个级数． 定义1　给定数列｛un｝，则表达式 u1+u2+…+un+…= （9-1） 称为一个无穷级数，简称为级数．其中un称为该级数的通项或一般项．若级数（9-1）的每一项un都为常数，则称该级数为常数项级数(或数项级数);若级数（9-1）的每一项un=un(x)，则称为函数项级数． 我们首先讨论常数项级数．应该注意，无穷多个数相加可能是一个数，也可能不是一个数．比如，0+0+…+0+…是一个数,而1+1+…+1+…则不是一个数．因此，应明确级数(9-1)何时表示一个数，何时不表示数．为此，必须引入级数的收敛和发散的概念． 记　 s1=u1，s2=u1＋u2，…，sn=u1+u2+…+un=,… 称Sn为级数(9-1)的前n项部分和，称数列｛Sn｝为级数(9-1)的部分和数列，显un=Sn-Sn-1．从形式上看，级数u1+u2+…+un+…相当于和式(u1+u2+…+un)中项数无限增多的情形，即相当于,因此可以用数列｛Sn｝的敛散性来定义级数(9-1)的敛散性． 定义2　若级数的部分和数列｛Sn｝的极限存在，且等于S,即 =s, 则称级数收敛，S称为级数的和．并记为s=，这时也称该级数收敛于S．若部分和数列的极限不存在，就称级数发散． 例2　试讨论等比级数(或几何级数) =a+ar+ar2+…+arn+… (a≠0) 的敛散性，其中r称为该级数的公比． 解　根据等比数列的求和公式可知，当r≠1时，所给级数的部分和 sn=a·． 于是，当＜1时， ． 由定义2知，该等比级数收敛，其和s=．即 , |r|＜1． 当|r|＞1时， ． 所以该等比级数发散． 当r=1时， Sn=na→∞　(当n→∞时)， 因此该等比级数发散． 当r=-1时， sn=a?a+a?…+(?1)na= 部分和数列的极限不存在，故该等比级数发散． 综上所述可知：等比级数 (a≠0)，当公比|r|＜1时收敛；当公比|r|≥1时发散． 例3　求级数的和． 解　注意到 因此 sn= 所以该级数的和为 s=, 即 ． 例4　判别级数的敛散性 解 因为该级数为等比级数， 公比所以原级数发散. 9.1.2　常数项级数的性质 根据数项级数收敛性的概念和极限运算法则，可以得出如下的基本性质. 性质1　若级数收敛，C是任一常数，则级数也收敛，且 ． 证　设的部分和为Sn，且=s．又设级数的部分和为sn′=C·sn，显然有sn′=C·sn，于是 =C·s， 即 ． 性质2　若级数与都收敛，则也收敛，且 ． 证　设与的部分和分别为An和Bn，且设=s1, =s2,则的部分和为 sn==An±Bn． 于是 =s1±s2, 即 ． 性质2的结论可推广到有限个收敛级数的情形． 性质3　在一个级数中增加或删去有限个项不改变级数的敛散性，但一般会改变收敛级数的和． 证　我们不妨只考虑在级数中删去一项的情形． 设在中删去第k项uk，得到新的级数 u1+u2+…+uk?1+uk+1+…+uk+…, 则新级数的部分和sn′与原级数的部分和Sn之间有如下关系式： ． 从而数列｛sn′｝与｛sn｝具有相同的敛散性． 性质4　收敛级数加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变． 该性质的证明从略． 要注意的是：加括号后的级数收敛时，不能断言原来未加括号的级数也收敛．例如级数 (1-1)+(1-1)+…+(1-1)+… 收敛于零，但级数 =1?1+1?1+… 是发散的．这是因为sn=因而｛Sn｝的极限不存在． 由性质4可得结论：如果加括号后的级数发散，则原级数一定发散． 9.1.3　级数收敛的必要条件 若数项级数收敛于S，那么由其部分和的概念，就有 un=sn?sn?1． 于是 ． 依据收敛级数的定义可知， =s． 因此这时必有 =0． 这就是级数收敛的必要条件． 定理1　若级数收敛，则=0． 需要